271 「nは自然数とする。n, n+2, n+4がすべて素数ならばn=3であることを示せ」という問

271 「nは自然数とする。n, n+2, n+4がすべて素数ならばn=3であることを示せ」という問題なんですが、なんで3k, 3k+1,3k+2なんですか？

質問者からの補足コメント

• 4k,4k+1,4k+2,4k+3とかすべての整数を表すことができたらなんでもいいんですか？

    補足日時：2018/07/11 23:02

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/17 14:19

ｎが自然数のときn,n+2,n+4の内どれか一つが３の倍数になることが分かります。

したがって、上記を示せば、良いことになります。
一般的に、「f(n)が3の倍数であることを示せ。」では、
n=3k,3k+1,3k+2 または、 n=3k,3k±1と置くのが、定石です。
よって、ｎを問題集のように置くことになります。

ちょっと、気になりますが、
「ｋを自然数として、・・・3kは素数ではない」は良いのですか。
ｋを自然数として、n=3k+1,3k+2,3k+3とすれば、
ｎ=3(k+1)は素数ではない。はOKです。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/07/12 08:25

4の倍数に0,1,2,3を足しても、すべての整数を表現することはできますが、

この証明の場合は、4の倍数を当てはめてやろうとすると、
n=4k、n=4k+2=2(2k+1)は偶数なので、偶数＞4であるので素数ではないということはできますが、
n=4k+1（や n=4k+3）の場合は、n=4(k+1)+1=4k+5(など)となり、
m・ｎ　（m,n∈Z）の形にできないのでうまくいきません。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/07/11 17:30

どんな整数であったとしても、3の倍数か、それに1を足したものか、2を足したものの、どれかになるから。

逆に言うと、どんな整数であっても3で割り切れるか、あまりが1になるか、2になるかということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/07/11 23:01