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数A
nは自然数とする。n , n+2 , n +4が全て素数であることを示せ。
という問題です。nがどんな値でも3の倍数を含むことはわかります。
なぜ、
n≧4のときn≡0(mod3) n≡1(mod3) n≡2(mod3)という場合分けになるのかがわからないです。どなたか、丁寧に教えてくれませんか?

質問者からの補足コメント

  • 全て素数ならばn=3を示せ
    でした。すみません!

      補足日時:2021/05/17 21:07

A 回答 (5件)

n , n+2 , n +4が全て素数


n=1 のとき、1,3,5 1は素数でないので不適
n=2 のとき、2,4,6 不適
n=3 のとき、3,5,7 適する

nがどんな値でも3の倍数を含むことを確かめるためには、nが3の倍数である場合とnが3の倍数でない場合に分けると確かめられます。nが3の倍数である場合はnを3で割ったときの余りは0なので、n=3k と表されます。nが3の倍数でない場合はnを3で割ったときの余りは1か2です。(余りは割る数より小さいので、3で割ったときの余りは1か2です)よって、n=3k+1 , n=3k+2 と表されます。

n , n+2 , n +4 は、
① n=3k とき、3k , 3k+2 , 3k+4
② n=3k+1 のとき、3k+1 , 3k+1+2=3k+3=3(k+1) , 3k+1+4=3k+5
③ n=3k+2 のとき、3k+2 , 3k+2+2=3k+4 , 3k+2+4=3k+6=3(k+2)
よって、
nがどんな値でも3の倍数を含むことが分かります。
これを合同式を使って書くと、
n≧4のときn≡0(mod3) n≡1(mod3) n≡2(mod3)という場合分けになります。
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自然数


n
に対して
n

3で割った商を
[n/3]
余りを
k=n-3[n/3]
とすると

n=3[n/3]+k
n-k=3[n/3]=0(mod3)
n=k(mod3)

[n/3]≦n/3<[n/3]+1
3[n/3]≦n<3[n/3]+3
0≦n-3[n/3]<3
↓k=n-3[n/3]だから
0≦k<3
↓kは整数だから
0≦k≦2

kは整数だから
k=0またはk=1またはk=2

↓これをn=k(mod3)に代入すると

n=0(mod3)または
n=1(mod3)または
n=2(mod3)
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うん


だからn≡0(mod3) n≡1(mod3) n≡2(mod3)のどれかになる。
かりにn≡1(mod3)ならn+2≡0(mod3)だから
n+2は3の倍数だけどn+2は素数だからn+2=3、n=1
これはnが素数に反する。
またかりにn≡2(mod3)ならn+4≡0(mod3)で
n+4が素数だからn+4=3、n=-1
これはnが自然数に反する。
だから結局n≡0(mod3)でなければいけない
つまりnは3の倍数になるけどnは素数だからn=3
実際3、3+2=5、、3+4=7はいずれも素数だから
n=3が答。
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だってどんな整数でも3でわったらあまりは0、1、2


のどれかじゃん。
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問題文は正しいですか。


「nは自然数とする。n , n+2 , n +4が全て素数」。
n=2, n=7, n=11, ・・・ のときは どうする?
「nがどんな値でも3の倍数を含むことはわかります」
これも 矛盾してますね。

4=3x1+1, 5=3x1+2, 6=3x2+0, ・・・と云う事では。
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この回答へのお礼

間違っていました。補足見てくださったら嬉しいです。

お礼日時:2021/05/17 21:08

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