この問題分かりますか？ 共有点の問題です

この問題分かりますか？
共有点の問題です

質問者からの補足コメント

• 次の式のaの値によって共有点がどう変化するかという問題です。
  
  曲線y=√(x-1)
  
  直線y=ax

    補足日時：2018/07/17 22:17

• すみません
  補足しておきました

    補足日時：2018/07/17 22:53

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/18 11:50

曲線y=√(x-1)・・・①

直線y=ax・・・②とすると
①より1≦x,0≦yだから
①②が共有点を持つための必要条件は
②よりy=ax≧０
すなわち0≦a・・・③

次に①式を②式に代入して
√(x-1)=ax （ただしx≧1)
両辺２乗
(x-1)=a²x²⇔a²x²-x+1=0・・・④

（③に注意しておいて）
a=0のとき④はｘの1次方程式-x+1=0となるから解はx=1の１個のみ

a>0のとき④はｘの2次方程式で
判別式D=1-4a²

D>0の場合
1-4a²>0⇔(2a-1)(2a+1)<0
(-1/2)<a<1/2だから
a>0を考慮して
0<a<1/2で④の解は2個、

D=0の場合
1-4a²=0⇔a=±1/2
a>0を考慮して
a=1/2で④の解は1個、

D<0の場合
1-4a²<0⇔(2a-1)(2a+1)>0
a<(-1/2)、1/2<a
a>0を考慮して
1/2<aで④の解は0個、

以上をまとめると①②は
a<0で共有点０
a=0で共有点は１こ
0<a<1/2で共有点は2個
a=1/2で共有点は1個
1/2<aで共有点は0個

No.2 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/17 22:56

共有点を調べたい、つまり二つの式を同時に満たすx、yの組を見つけたい→連立方程式を解く(代入法)

√(x-1)=ax
√(x-1)/x=a
y=√(x-1)/xのグラフとy=aのグラフの共有点を調べればよい。
y=√(x-1)/xの概形が分かれば、y=aとの共有点は容易に分かります。そして、y=√(x-1)/xの概形を知るために微分して増減表を書いて、という感じです。
y=aのグラフはa=1のときはy=1という横一線、a=2のときはy=2という横一線のグラフですよね。
y=√(x-1)/xのグラフとy=aの横一線なグラフとの共有点は、aがどこより大きくてここより小さかったら1個、ここより大きくてそこより小さかったら2個、というふうに考えられると思います。
因みに、最初のy=√(x-1)のグラフと最終的に使うy=√(x-1)/xのグラフは別物ですよ。後者は共有点を持つ範囲を分かりやすくするために考えるグラフというだけです。

No.1 回答者： 酪酸納豆 回答日時： 2018/07/17 22:20

全然見えない