【超絶難問】a.b.cは任意の正の整数、nは2以上の任意の整数とするこのとき a^n+b^n+c^n

【超絶難問】a.b.cは任意の正の整数、nは2以上の任意の整数とするこのとき　　　　　
　　　　　　a^n+b^n+c^n
で表せない自然数が無限にあることを示せ

30時間くらいかけたけど解けませんでした。誰か解ける方いませんか？

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/07/20 14:28

これはフェルマーの最終定理の応用で、ｎ＞2の場合がフェルマーの最終定理の意味するところ。

つまりa^2+b^2に上限があるので、a^2+b^2+c^2には上限が無く、a^n+b^n+c^nにも上限が無い。

この回答へのお礼

なるほど…
回答ありがとうございます！
具体的に示せそうですかね？

お礼日時：2018/07/21 12:20

No.5 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/07/21 13:18

＞具体的に示せそうですかね？

私は数学者ではないので厳密な記述法さえ知りません。数学カテでお訊きになる方が良いでしょう。数学は整数論だけでもとても面白いですが、一生を化学に捧げた私にもう残りの能力はありません。

この回答へのお礼

おっしゃる通りですね
数学だけに関わらず学問は奥が深いですね…
この問題も、今だったら解けるかもと思ってやってみましたが、全然だめでした（笑）
高校生向けには少し難しすぎますね

お礼日時：2018/07/21 17:04

No.6 回答者： ニコラスk 回答日時： 2018/07/22 13:15

ケンブリッジ大学数学科名誉教授に聞けばわかりますよ

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/26 07:57

とりあえず、n>3の場合は超簡単。

命題を否定して「表せない自然数が無限にはない」と仮定すると、「表せないやつ」の最大値Kが存在する。つまり、「自然数Kがあって、k＞Kならどんなkでも、k=a^n+b^n+c^n となるa,b,cがある」ということ。で、K+1からN (もちろんN＞K)までの自然数は(N-K)個あるけれども、a^n+b^n+c^n≦Nとなるa,b,cの組み合わせは（a,b,cはどれもN^(1/n)以下なので）高々(N^(1/n))^3通り。そして、n>3の場合なら、(N-K)＞(N^(3/n)) となるNが存在するのは（Nが、Kなんか目じゃない巨大な数の場合を考えれば）自明でしょう。つまり、a^n+b^n+c^nでは(N-K)通りの自然数は表せない。Kより大きい「表せないやつ」があるということだから、矛盾。

というわけで、n=2,3の場合を考えんといけん、と分かりますばい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
問題文が少し分かりにくく申し訳ないですが、それぞれのnについて無限にあるのではなく、この問題では、nははじめから任意としています。　
　それぞれのnについて示せ、だったらこの解答の方針で全く問題ないと思います。

お礼日時：2018/07/27 22:51

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/28 23:36

No.7へのコメントに付いてです。

なるほど、
　　 {k | k∈N ∧ ∀a∀b∀c∀n ((a,b,c,n∈N ∧ n≧2) ⇒ k≠a^n+b^n+c^n))}
が無限集合、って話ですか。
　えーと、No.7の話では、nがでかいほど(N^(3/n))はどんどん小さくなる。なので、場合の数の上限を N^(3/n)にする代わりに、4以上のあらゆるnについての場合の数の上限（すなわち、重複を気にしないで場合の数を考えたときの値）を使って
　　∃N (N-K) ＞ Σ{n=4〜∞} (N^(3/n))
を考えちゃいかが。
　なのでやっぱり、n=2,3の場合を考えんといけんばい。

この回答へのお礼

……いけました？

お礼日時：2018/07/30 21:35