連立不定方程式(Diophantine equation)

次の連立方程式の整数解を全て求めよ。

7x+9y-8z=-7
3x+2y-6z=-8

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/25 00:30

7x+9y-8z=-7…①

3x+2y-6z=-8…②とします。
まず文字を一つ、今はzを消去します。
①×3-②×4より
9x+19y=11…③
③は二元一次不定方程式です。
(-22,11)は一つの整数解です。
解であるということは、(-22,11)を③へ代入しても等式は成り立ちます。
9･(-22)+19･11=-11…④
③-④より
9･(x+22)+19･(y-11)=0
9･(x+22)=-19･(y-11)…⑤
左辺が9の倍数なので、右辺も9の倍数にならないといけません。しかし19は9の倍数ではないので、y-11が9の倍数です。つまり、
y-11=9k　(kは整数)と表せます。すなわち、y=9k+11です。
また、y-11=9kを⑤へ代入して、
9･(x+22)=-19･9k
x+22=-19k
x=-19k-22
次に①と②から文字をもう一つ消去します。今はyを消去します。
②×9-①×2より
13x-38z=-58
これは二元一次不定方程式なのでさっきと同様に解を求めます。しかし、x=-22が解であることは既に分かっているので見つけるのは容易です。
x=-22を13x-38z=-58へ代入して求めるとz=-6となります。
よってx=-22とz=-6を
13x-38z=-58に代入して
13･(-22)-38･(-6)=-58
これを13x-38z=-58からひくと
13(x+22)-38(z+6)=0
13(x+22)=38(z+6)
x+22は38の倍数となるので
x+22=38k (kほ整数)と表せます。すなわちx=38k-22です。
また、x+22=38kを13(x+22)=38(z+6)に代入して
13･38k=38(z+6)
13k=z+6
z+6=13k
z=13k-6となります。
ここで一つ目の不定方程式で求めた解と二つめの不定方程式で求めた解を見てみましょう。
x=-19k-22、y=9k+11と
x=38k-22、z=13k-6です。
xにおいて、kの係数が異なるので、それらの最小公倍数に合わせます。つまり、一つ目の解のkの係数を-2倍にします。
x=38k-22、y=-18k+11と
x=38k-22、z=13k-6となります。
よって求める解は
(x,y,z)=(38k-22,-18k+11,13k-6) (kは整数)
もちろん
(x,y,z)=(38k+16,-18k-7,13k+7)
や
(x,y,z)=(-38k+16,18k-7,-13k+7)
などでも正解です。

書きながら間違いを見つけて修正していったので、ところどころ間違っているかも知れませんが、大体こんな感じです。