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基底が存在すれば部分空間と判定することができますか?

「線形代数 部分空間 基底」の質問画像

A 回答 (1件)

質問に関してはその通りです。


 以下余計なことです。
  ・その質問と添付ファイルとの関係がどんな関係にあるかわかりません。

  ・問1 x1+2x2-x3=0が平面ですから、WはR^3の部分空間です。ちなみにWの基底として
    →a=[0 1 2]T,→b=[-5 2 -1]Tなど候補です。
  ・問2 →a3は→a1,→a2を使って表せますから次元は2、基底は→a1と→a2を候補にしてもいいかな。
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この回答へのお礼

問1で先生が基底が存在すれば判定できると話していたので…
つながりがわかりにくくてすいません。
わかりやすい回答ありがとうございました。
これでテストに安心して臨めます。

お礼日時:2018/08/06 09:47

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Q線形代数で部分空間かどうかの判定

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

(1) y=3xを満たすベクトル[x;y]の全体
(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
(1) W=Φ
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W

Aをm×n行列とするとき、
W={x∈R^n | Ax=0}
はR^nの部分空間である。

…ここからは推測ですが、
(1)はyと3xが比例しているような関係で
「xのちょうど3倍がyになる」から部分空間なのですか?

(2)は+1があって原点を通らないので
部分空間じゃないのですか?
もし、y=2xだったら部分空間ですよね?
+1や-1が付くような場合はすべて
「部分空間じゃない」と考えてもいいですか?

(3)は原点は通っていても
yがxの二乗に比例しているので
部分空間じゃないんですよね(倍数では表せないので)?

宜しくお願いします。

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

(1) y=3xを満たすベクトル[x;y]の全体
(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
(1) W=...続きを読む

Aベストアンサー

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
(1)は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね?
問題に与えられた3つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか? どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部分空間ではないわけです。

まず(1)の図形:
二つのベクトル a = (x_1,y_1) と b = (x_2,y_2) が W の元だとしましょう。これは、y_1 = 3x_1, y_2 = 3x_2 が成り立つという事です。
では、a + b = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) はどうでしょう?
もし、
y_1 + y_2 = 3(x_1 + x_2)
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次に、性質(2)はどうでしょう。
λa = (λx_1,λy_1) ですから、
λy_1 = 3(λx_1)
が成り立てば、性質(1)が満たされ、成り立たない場合は満たされないわけです。

次に(2)の図形…
a = (x_1,y_1), b = (x_2,y_2) が(2)の図形にあるのは、
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a + b が性質(1)を満たすとは、
y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 1 が成り立つという事です。
これは本当ですか?

(3)の図形も同じように考えてみましょう。

ところで、質問者さんは例題が本に載っていないと仰いますが、先生は授業中に例題を見せてくれませんでしたか?

***********************
**本当に授業を真面目に聞いていましたか?**
***********************

それから、次回こういう質問があったらネットで聞いたりしないで、先生のところに聞きに行きましょう。
必ず、よろこばれますから。
先生って、質問に来てくれる学生はかわいいもんです!

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
(1)は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね?
問題に与えられた3つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
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Q楕円 a,bが0<b<aを満たす定数のとき,方程式 x^2/a^2+y^2/b^2=1 という式が成

楕円

a,bが0<b<aを満たす定数のとき,方程式
 x^2/a^2+y^2/b^2=1

という式が成り立ちます.


ここで,疑問があります.

楕円のグラフをかいたときに
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y=0のとき式からx=aと確かになります.これは納得いくのですが,このときbの値はどうなっているのでしょうか?

0<b<aですから,b=0はありえません
方程式からみても,b^2は分母にあるため,b=0はありえません.

わかりにくくてすみません.
いいたいことはこれです.
楕円において,aがx軸上の点であるとき,bは0<b<aの範囲のどこかに存在しているという考えであっていますか?

回答よろしくお願いします.

Aベストアンサー

No.2の回答で、もう完璧なんですがね…

> a,bが0<b<aを満たす定数のとき,方程式
> x^2/a^2+y^2/b^2=1

までは良いんだけれど、

> という式が成り立ちます.

というところに、どうも誤解があるように思います。
 というのは、「成り立ちます」とか言ってるけれども、「どんなx,yを代入してもこの式が成り立つのか。x=0, y=0でも成り立つのか」というと、いや、そうは行かないでしょ。

 a,bが定数なんですから、方程式
  x^2/a^2+y^2/b^2=1
の未知数はxとyです。そして、この方程式を満たすような(x,y)を、この方程式の「解」と言います。
 解は一つだけとは限らなくて、実際、この方程式の場合には無限個の解があります。これら無限個の解全部を集めた集合をSとしましょう。Sを集合の記号を使って書けば
  S = {(x,y) | x^2/a^2+y^2/b^2=1}
です。
 さて、Sの要素である(x,y)を直交座標系上の点(x,y)だと思ってプロットすることを考えてみてください。すると、
(1) Sの要素のどの点(x,y)も、或るひとつの楕円の周上にある。しかも、
(2) Sの要素はこの楕円の周を余すところなく埋め尽くす。

なので、Sは「この楕円の周上にある点全部の集合」と同じである。つまり、
  x^2/a^2+y^2/b^2=1
の解の集合Sは、或るひとつの楕円の周をちょうど表している。それで、この式を「楕円の方程式」と呼んでいるんです。

 以上をご理解の上で、No.2の回答をご覧になると良いのではないか。

No.2の回答で、もう完璧なんですがね…

> a,bが0<b<aを満たす定数のとき,方程式
> x^2/a^2+y^2/b^2=1

までは良いんだけれど、

> という式が成り立ちます.

というところに、どうも誤解があるように思います。
 というのは、「成り立ちます」とか言ってるけれども、「どんなx,yを代入してもこの式が成り立つのか。x=0, y=0でも成り立つのか」というと、いや、そうは行かないでしょ。

 a,bが定数なんですから、方程式
  x^2/a^2+y^2/b^2=1
の未知数はxとyです。そして、この方程式を満たすような...続きを読む

Q下の写真の赤線のところなんですが、なぜそー言えるのですか? 一次独立と一次従属について教えてください

下の写真の赤線のところなんですが、なぜそー言えるのですか?
一次独立と一次従属について教えてください!

Aベストアンサー

あなたの疑問は、このページを読む人がもつ、自然に、浮かぶ疑問です。解説は、階数も理解しないと、無理です。も少しいうと線形空間(ベクトル空間)Vを定義する必要が出てきてしまいます。原因は添付ファイルの上段にある4行までの一次独立の定義として使っているベクトルの数nに起因します。
2行目の頭に、零ベクトルでないべクトル→a1,→a2,・・・,→anと書いてありますか。これがあるとVがイメージできます。しかしそれを、このテキストは書いてしまうと、このテキストが、循環論法に陥ります。

 この場限りで解説してみます。(テキストと同じ立場に立ちますから、疑問は払拭されないでしょう)
  準備運動
 1. 次元というと点、線、平面、立体空間をイメージしてしまいますが、この回答では左から順に0次元、1次元、2次元、3次元と言いましょう。(解説を高校レベルに落としました。)
 2. 例えば零ベクトルでない2つの単位ベクトルベクトル→a1,→a2がどんな実数k(スカラー数)を使っても→a1=k(→a2)と表せない
  (書けない)とき、(一方のベクトルでどうしても他方のベクトルを表現できないとき)→a1と→a2は互いに一次独立といいましょう。
 3. 一次独立な2つのベクトルを→a1、→a2とします。ここで例えばk,lを実数として k(→a1)+l(→a2) (1次結合)で新たなベクトルを作ることができます。K,lが自由に動いてできるベクトル→cたち →c=k(→a1)+l(→a2)の集合,すなわちV={→c: k(→a1)+l(→a2)=→c,組(k,l)の成分は実数}を、線形空間と呼びます。またVの事を、→a1と→a2が張る線形空間と呼びます。この場合は平面Vと言えます。
 逆にこの平面V上のいかなるベクトルも必ず、→a1と→a2だけで表現でき、しかもその表現法は一律に定まります。
 4. お分かりかと思いますが、空間Vは零ベクトルでない3つの互いに一次独立なベクトルを張ってできた線形空間はまさに3次元空間で、空間V内のすべてのベクトルがその3本で一意に表現できます。4つがお互い一次独立なベクトルが張る線形空間Vはもはや一般的な空間でなくなります。

 質問解答
 さて質問の 赤いアンダーラインについてです。
 "2つのベクトル→a,→bが一次独立であるとき、3つ目の→cをどのようにとっても、→a,→b,→cは一次従属になる。"
 なるとは限りません。→a,→bが張る線形空間Vすなわちここでは平面V上に→cがあるときだけ→cは→c=k(→a)+l(→b)と書けます。すなわち→cを→a,→bで表現できます。表現できますから→cは→aに→b一次従属してしまいます。だから3つのベクトルは同じ平面上にあると、一次従属になるわけです。

"2つのベクトル→a,→bが一次独立であるとき、3つ目の→cをどのようにとっても、→a,→b,→cは一次従属になる。"いいえなりません。 一次従属にならないのは(すなわち→a,→b,→cが一次独立になるのは)、→cがこの平面Vにないときです。例えば→cが→aと→bに垂直な位置にありかつ零ベクトルでないベクトルのときです。このときには→a,→b,→cが張る線形空間が3次元になります。 このことへの配慮を、このテキストがコメントしていないことです。このテキストは平面だけをベクトル空間として説明しているいるようですね。

 赤線下の4行目に書いてある3つのベクトル→a,→b,→cが一次独立であるとき、4つ目の→dを"→a,→b,→cが張る3次元空間上でとる限り"どのようにとっても、→a,→b,→c、→dは一次従属になる。と書くなら納得します。(ただし→dは零ベクトルでないとします。)

あなたの疑問は、このページを読む人がもつ、自然に、浮かぶ疑問です。解説は、階数も理解しないと、無理です。も少しいうと線形空間(ベクトル空間)Vを定義する必要が出てきてしまいます。原因は添付ファイルの上段にある4行までの一次独立の定義として使っているベクトルの数nに起因します。
2行目の頭に、零ベクトルでないべクトル→a1,→a2,・・・,→anと書いてありますか。これがあるとVがイメージできます。しかしそれを、このテキストは書いてしまうと、このテキストが、循環論法に陥ります。

 この場限りで...続きを読む

Q数学III 複素数の問題です。 複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した

数学III 複素数の問題です。

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

答えは(1,7)です。
解説をご教授下さい。


解答を見ても良く理解できませんでした。
考え方込みでご教授頂けると嬉しいです。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

複素数を利用して計算する。
点(5,5)をAとする。複素数を使ってA=5+5iと書く。Aの対称点をCとし、
ACの中点をBとする。
直線y=2xの上の点を一つ取ってDとする。ここではD=(1,2)=1+2iとする。
ODは直線y=2xの方向を示すベクトルである。ODにiをかけると、ODは左回りに90°回転してOEとなる。
E=D×i=(1+2i)×i=-2+i
OEはABおよびACと平行である。AからOEと平行に進めばB、Cに達する。
AにベクトルOEのk倍を足せばBになる。kは適当な定数である。
B=A+kE=(5+5i)+k(-2+i)=5-2k+(5+k)i
Bは直線y=2xの上にあるから、Bのx座標5-2kとy座標5+kは
y=5+k=2(5-2k)
の関係がある。これを解くとk=1となる。
CはAにkEの2倍たせばよいからC=A+2E=(5+5i)+2(-2+i)=1+7i

Q問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面

問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて考える。

(1)頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求めよ。

(2)→OHの大きさを求めよ。(→はベクトルです)

(3)△ABCの面積を求めよ。また、四面体OABCの体積を求めよ。

解説お願いします。

Aベストアンサー

ベクトルの矢印は省略
OH=(x,y,z)とする
AB=(1,-2,-1)
BC=(-2,-2,5)
CA=(1,4,-4)
垂直なベクトル同士の内積=0 から
OH・AB=(x-2y-z)=0
OH・BC=0
OH・CA=0
⇒変数3つの式が3つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。
Hの座標は(x,y,z)

(2) |OH|²=x²+y²+z² より
|OH|=√(x²+y²+z²) に
(1)の結果を代入します

(3) △ABC=(1/2)|AB||AC|sinA ←←←AB,ACはベクトル
=(1/2)√(|AB|²|AC|²sin²A)
=(1/2)√{|AB|²|AC|²(1-cos²A)}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(|AB||AC|cosA)²}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}
            ↑内積
より 面積に関する準公式 :△ABC==(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}が導かれるのでこれを知っていると便利です。
この準公式に(1)で求めた各ベクトルの成分を当てはめれば、比較的簡単に△ABCの面積が求まることでしょう!

次に 前述の結果を用いて
 四面体の体積=底面積x高さx(1/3)=△ABC・|OH|・(1/3) を計算すれば 答えが出るはずです。

ベクトルの矢印は省略
OH=(x,y,z)とする
AB=(1,-2,-1)
BC=(-2,-2,5)
CA=(1,4,-4)
垂直なベクトル同士の内積=0 から
OH・AB=(x-2y-z)=0
OH・BC=0
OH・CA=0
⇒変数3つの式が3つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。
Hの座標は(x,y,z)

(2) |OH|²=x²+y²+z² より
|OH|=√(x²+y²+z²) に
(1)の結果を代入します

(3) △ABC=(1/2)|AB||AC|sinA ←←←AB,ACはベクトル
=(1/2)√(|AB|²|AC|²sin²A)
=(1/2)√{|AB|²|AC|²(1-cos²A)}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(|AB||AC|cosA)²}
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Q確率漸化式 場合分けは「最後の一手」か「最初の一手」か?

子供の塾では、
●確率漸化式の立式では「最後か、最初の一手で場合分けする」
●「ほとんどの確率漸化式は、最後で場合分けでも、最初で場合分けでも解くことができる」
と教えているようです。

最後の一手で場合分けし、nとn+1の推移図を描くというのはよくみる解法です。
では、最初の一手で場合分けするのはどういうときなんでしょうか?

つまり、「最後の一手で場合分け」がわかりよいのに、わざわざ(わかりにくい?)「最初の一手で場合分け」するのはどういう場合なんでしょうか?

この辺りについて、ご存知の方がおられましたら何卒よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

問題を、他人の言葉を使うのではなく,自分の言葉を使って他人に伝えることができれば、その問題は半分解決できるようなものだという警句があります。

確率においては往々にして、解決の糸口を探すため。問題を熟読して,戦術を考えます。だから初めに問題に沿ってシミュレーションをします。そこで、場合分けが必要か洗い出せます。演繹法で解くか、帰納法で解くかの戦術も浮かび上がるものです。

"●確率漸化式の立式では「最後か、最初の一手で場合分けする」
●「ほとんどの確率漸化式は、最後で場合分けでも、最初で場合分けでも解くことができる」"
と教えているようです。 という命題が何を言っているか伝わりません。

もう少し問題を具体的に、提示していただければ、質問に応じられるかもしれませんね。
失礼しました。

Qcos^4a/cos^2b+sin^4a/sin^2b=1 のとき、 sin^2a-sin^2bの値

cos^4a/cos^2b+sin^4a/sin^2b=1 のとき、

sin^2a-sin^2bの値を求めなさい。

どう解けばいいのかわかりません。
教えてください

Aベストアンサー

ゲームじゃないの。 
 与式の右辺の1にcos^2a+sin^2aを代入してから 両辺に cos^2b・sin^2bを掛けて分母を払い、移項します。 つまり

     cos^4a/cos^2b+sin^4a/sin^2b=1
                     =cos^2a+sin^2a
 cos^4a・sin^2b+sin^4a・cos^2b-cos^2b・sin^2b(cos^2a+sin^2a)=0  展開して、整理する。
 sin^2b・cos^2a(cos^2a-cos^2b)+cos^2b・sin^2a(sin^2a-sin^2b)=0
  sin^2b・cos^2a(1-sin^2a-1+sin^2b)+cos^2b・sin^2a(sin^2a-sin^2b)=0
 - sin^2b・cos^2a(sin^2a-sin^2b)+cos^2b・sin^2a(sin^2a-sin^2b)=0  
  (cos^2b・sin^2a-sin2b・cos^2a)(sin^2a-sin^2b)=0

 ∴sin^2a-sin^2b=0
 または cos^2b・sin^2a-sin2b・cos^2a=0  左辺 cos^2b・sin^2a-sin2b・cos^2aも以下のように変形して
     cos^2b(1-cos^2a)-(1-cos^2b)cos^2a=0
     cos^2b-cos^2a=0 ともなるがこのときもsin^2a-sin^2bの値は0となる。

 だからsin^2a-sin^2b=0

ゲームじゃないの。 
 与式の右辺の1にcos^2a+sin^2aを代入してから 両辺に cos^2b・sin^2bを掛けて分母を払い、移項します。 つまり

     cos^4a/cos^2b+sin^4a/sin^2b=1
                     =cos^2a+sin^2a
 cos^4a・sin^2b+sin^4a・cos^2b-cos^2b・sin^2b(cos^2a+sin^2a)=0  展開して、整理する。
 sin^2b・cos^2a(cos^2a-cos^2b)+cos^2b・sin^2a(sin^2a-sin^2b)=0
  sin^2b・cos^2a(1-sin^2a-1+sin^2b)+cos^2b・sin^2a(sin^2a-sin^2b)=0
 - sin^2b・cos^2a(sin^2a-si...続きを読む

Qx(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0 を満たす実数x,yの値を求めよ。 この問題

x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0
を満たす実数x,yの値を求めよ。
この問題をどなたか教えてください!
自分で因数分解をしてみたのですが出来なくて…

Aベストアンサー

たまに見る面白い問題です。
 因数分解できないときは、作戦を変えて
 実数の性質 すなわち  a,bが実数のときa^2+b^2=0⇄a=b=0 であることを武器にして解きます。
 x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0  を展開してa^2+b^2=0という形に以下のように強引に変形して解いてみるのが定石でしょう。
 x^2+4xy+5y^2+14y+8+4x+5=0   xを同類項で整理したx^2+4(y+1)に着目してこの2項で平方完成します。
  x^2+4(y+1)x+4(y+1)^2+y^2+6y+9=0 
  {x+2(y+1)}^2+(y+3)^2=0  この式はx+2(y+1)=a,y+3=bとみなせば a^2+b^2=0と一致し、しかもx+2(y+1)も,y+3も実数です。
 よつて x+2y+2=0かつy+3=0ですから y=-3,x=4
 です。

Q次の正四面体のA-C,A-D,B-Cの中点を通ってできる図形は何か。 A.正三角形 B.二等辺三角形

次の正四面体のA-C,A-D,B-Cの中点を通ってできる図形は何か。

A.正三角形 B.二等辺三角形 C.台形
D.長方形 E.正方形 F.ひし形
G.該当なし


あるSPI問題集にあった問題です。時間がある方、考えてくださると助かります。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

3つの中点を含む平面で切った切り口は正方形E
3つの中点を結んでできる図形は二等辺三角形だが、これは、正四面体に特有の性質でなくてもできる図形だから正解ではない。問題文の作り方は下手だ。


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