ビオサバールの法則についての質問です 電流素片ℹ︎d lと位置ベクトルrとの外積が磁場の向きdHを決

ビオサバールの法則についての質問です

電流素片ℹ︎d lと位置ベクトルrとの外積が磁場の向きdHを決めるのはわかりますが
スカラー量の{ℹ︎/(4πrrr)}
がどこから出てくるのかわかりません

dH×距離= Hってことですよね？

dHの単位は何ですか？

混乱しているんで、めちゃくちゃな質問ですいません。

自分でも何がわからないのかよくわからないんですが、なんか違和感が抜けません( ˘ω˘ )

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/05 07:47

質問をよく見ると順序が違っていた。

１.　電磁気学はクーロンの法則とローレンツ力などを前提として、マクスウェルの式で完結し、
磁荷のクーロンの法則は独立したものになっている。
2.　アンペールの法則とビオ・サバールの法則は、ほぼ同等の関係にあります。つまり一方から
他方を導くことができます（ほぼなので他の法則も使う）。

したがって、ビオ・サバールの法則は「法則」ではありますが、アンペールの法則を前提として
（係数も含め）導くことがが本来の質問の答えになります。

この方法は砂川氏の理論電磁気学などに載っています。解略は rot B=μ₀i、ベクトルポテンシャル
を導入し、∇²<A>=-μ₀<i> をえる。これは、電荷のポテンシャルのポアソンの方程式のベクトル
版になっているから、解は <A(r)>=(μ₀/4π)∫{<i(r')>/|<r>-<r'>|}dv' となる。
これに rot をとって、結論を得る、という手順になる。

後はNo.3の前提を
　d<B>=(μ₀/4π)I(d<s>)×<r>/r³
　<F>=kMm <r>/(r³)
として、磁荷のクーロンの法則の係数を定めればよい。

なお、「dH×距離= Hってことですよね？」は間違いで、∫dH=H となります。
dHとHの単位は同じです。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/02 07:35

最後の式　1/4π=μ₀k　は　1/4π=k/μ₀ の間違いでした。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/02 07:06

No.1で述べたように、次のような仮定から議論できました。

ビオ・サバールの法則と磁荷のクーロンの法則は
　d<B>=kI(d<s>)×<r>/r³ ・・・・・・①
　<F>=Mm <r>/(4πμ₀r³)・・・・・・・・・・②
である。ここで、<・>はベクトルを示す。

電荷との類推で、磁界Hを
　<F>=M<H>、 　<H>=m <r>/(4πμ₀r³)　・・・・・・➂
と定める。つぎに、<B>と<H>の関係を仮定しないといかなる議論もでき
ない。実際、磁荷と電流が相互作用することは明らかであり、「真空中で
これらは比例するという法則」を設定し、

　<H>=<B>/μ₀・・・・・・④
と定義する。つまり、この<H>に基づいて、➂から磁荷を定義したと考え
ればよい。

そこで、電流素片I(d<s>)と磁荷m との相互作用を考える。まず、磁荷m
による磁界は <H>=m <r>/(4πμ₀r³)だから、この磁界による電流素片
I(d<s>)へのローレンツ力は
　d<F>=I(d<s>)×<B>=I(d<s>)×(μ₀<H>)=mI(d<s>)×<r>/(4πr³)

となる。逆に、I(d<s>)による磁界d<B>=μ₀d<H>からm への力はビオ
・サバールの法則から
　d<F>'=m(d<H>)=m(d<B>)/μ₀=(m/μ₀)kI(d<s>)×(-<r>)/r³
となる（<r>の向きは逆になる）。

作用反作用の法則により、d<F>=-d<F>' だから係数を比較して
1/4π=μ₀k を得る。ゆえに、
　k=μ₀/(4π)
を得る。

なお、電流素辺による磁界は球対称ではありません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/02 00:20

スカラー量は

　IdL/(4パイr^2)
ですよね？　分母が r^3 になるのは、分子に位置ベクトル →r があるとき。

このときの分母は、「半径 r の球の表面積」です。つまり、電流素量を「点」とみなして、それが作る「磁界（この場合には磁束かな）」の「単面積当たりの大きさ」つまり「磁束密度」を求めているのです。電流素量が「点」であれば、それが作る磁界は球対称ですから。

＞dH×距離= Hってことですよね？

はい。しかし距離をかけるというより「電流のルートに沿った積分」ということですね。
つまり、「電流素片」ごとの磁界を、電流全体にわたって足し合わせたもの。
「電流素片」などというものは現実には存在せず、実際には「電流の流れる導線」ですから。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/01 20:41

ビオ・サバールの法則は法則ですから、これを証明することはできません。

ただ、この法則はアンペールの法則とほぼ同等ですから、一方から他方を
導くことができます（ほぼなので他の法則も多少使用）。

これは難しい電磁気学に書いてありますが、ここで上げるのはとても面倒
です。

なお、磁荷のクーロンの法則とは原理的な関係は無い（磁荷と電流の関係
が示されていない）のでこれから導くことはできません。磁荷のクーロン
の法則とビオ・サバールの法則の比較から磁荷と電流素辺の関係を導くこ
とはできますが。