複素数の平方根

複素数z=Rexp(jθ) の平方根は
√z=√Rexp(jθ/2)
位相角θの定義域にはどんな制限があるのでしょうか？例えばθ=225°と-135°ではそのまま代入すると結果が変わります。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/08 09:48

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。

z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角（位相角）に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=cos(2X-2Π), sinθ=sin(2X-2Π) …(d)

(d)を変形すると
cosθ=cos(2X-2Π)=cos(2(X-Π)), sinθ=sin(2X-2Π)=cos(2(X-Π)) …(e)

ここでラジアン角同士を比較すると(c), (e)は

θ=2X
X=θ/2

θ=2(X-Π)
X-Π=θ/2
X=(θ/2)+Π

よって、z=Rexp(jθ)の平方根は、

√Rcos(θ/2)+j√Rsin(θ/2)=√Rexp(jθ/2)
√Rcos((θ/2)+Π)+j√Rsin((θ/2)+Π)=√Rexp(j((θ/2)+Π))

の2つになります。

前置きが長くなりましたが、位相角θの定義域は以下になります。
前提として0≦θ≦2Πとします。

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域：0≦θ≦Π/2, Π≦θ≦3Π/2
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域：Π/2≦θ≦Π, 3Π/2≦θ≦2Π

この回答へのお礼

ありがとうございます。
遠い学生時代の記憶をだんだん思い出して来ました。解は２つですよね。とある物理計算の中で複素数の平方根を使います。どちらを使うのだろう？計算式を辿って調べます。

お礼日時：2018/09/08 11:44

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/08 10:04

ANo.1です。

すみません、位相角θの定義域を間違えていました。

前提として0≦θ≦2Πとすると、

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域：0≦θ≦Π
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域：Π≦θ≦2Π