出産前後の痔にはご注意!

複素数z=Rexp(jθ) の平方根は
√z=√Rexp(jθ/2)
位相角θの定義域にはどんな制限があるのでしょうか?例えばθ=225°と-135°ではそのまま代入すると結果が変わります。

A 回答 (2件)

まず最初に、z=Rexp(jθ) の平方根は√Rexp(jθ/2)だけではありません。



z=Rexp(jθ)=Rcosθ+jRsinθ …(a)

2乗するとzになる複素数を√RcosX+j√RsinXとすると、
(√RcosX+j√RsinX)^2
= R(cosX)^2 - R(sinX)^2 + j2RsinXcosX
= R((cosX)^2 - (sinX)^2) + jR(2sinXcosX)
= Rcos2X + jR(sin2X) …(b)

ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると

cosθ=cos2X, sinθ=sin2X …(c)

になります。
ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2Πを加算または減算しても(c)は成立します。
表記の都合上減算したとすると、

cosθ=cos(2X-2Π), sinθ=sin(2X-2Π) …(d)

(d)を変形すると
cosθ=cos(2X-2Π)=cos(2(X-Π)), sinθ=sin(2X-2Π)=cos(2(X-Π)) …(e)

ここでラジアン角同士を比較すると(c), (e)は

θ=2X
X=θ/2

θ=2(X-Π)
X-Π=θ/2
X=(θ/2)+Π

よって、z=Rexp(jθ)の平方根は、

√Rcos(θ/2)+j√Rsin(θ/2)=√Rexp(jθ/2)
√Rcos((θ/2)+Π)+j√Rsin((θ/2)+Π)=√Rexp(j((θ/2)+Π))

の2つになります。

前置きが長くなりましたが、位相角θの定義域は以下になります。
前提として0≦θ≦2Πとします。

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域:0≦θ≦Π/2, Π≦θ≦3Π/2
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域:Π/2≦θ≦Π, 3Π/2≦θ≦2Π
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
遠い学生時代の記憶をだんだん思い出して来ました。解は2つですよね。とある物理計算の中で複素数の平方根を使います。どちらを使うのだろう?計算式を辿って調べます。

お礼日時:2018/09/08 11:44

ANo.1です。



すみません、位相角θの定義域を間違えていました。

前提として0≦θ≦2Πとすると、

√Rexp(jθ/2)の位相角θの定義域:0≦θ≦Π
√Rexp(j((θ/2)+Π))の位相角θの定義域:Π≦θ≦2Π
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=a{(x+b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a(x+b/2a)²-(b²/4a)+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
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従って、上に凸か下に凸かはaの正負を見れば一発で判ることになります。

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判別式、というのがこれですし、二次方程式の解の公式にも現れるはずです。
y=ax²+bx+c
=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
y=0のとき、つまりax²+bx+c=0のとき、
a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a=0
(b²-4ac)/4a=a(x+b/2a)²
(b²-4ac)/4a²=(x+b/2a)²
√{(b²-4ac)/4a²}=±(x+b/2a)
{√(b²-4ac)}/2a=±(x+b/2a)
±{√(b²-4ac)}/2a=(x+b/2a)
x={-b±√(b²-4ac)}/2a
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キ=7・・・④   ③と④は三角形の内角の和は180°からΔsBO∽ΔsAH

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>それでは不定積分(逆微分)と定積分はどのようにして繋がっているのでしょうか

不定積分は、先に書いた逆微分による定義の他に、3種類の定義(合計4種類)を持っています。

その中の一つである、「変数が一つの関数f(x)において、定義域内の任意の閉区間[a,b]上の定積分が、F(b)-F(a) に一致する関数F(x)を、関数f(x)の不定積分」と定義するものがあります。
これが不定積分と定積分を結びつけています。

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(2)
(i)z=1のとき
z+1/z=2

(ii)z≠1のとき
z^4+z^3+z^2+z+1=0
両辺をz^2で割って
z^2+z+1+1/z+1/(z^2)=0
{z^2+1/(z^2)}+1+(z+1/z)=0
{(z+1/z)^2-2}+1+(z+1/z)=0
(z+1/z)^2-1+(z+1/z)=0
z+1/z=wとおくと
w^2+w-1=0
w=(-1±√5)/2
z+1/z=(-1±√5)/2

(3)
z^5=1より|z|=1なので
1/zはzと共役な複素数となる。(zと1/zは偏角が逆な複素数です。図をかいて見ると分かりやすい。)

つまりz=cos(4π/5)+isin(4π/5)のとき
z+1/z=cos(4π/5)+isin(4π/5)+cos(4π/5)-isin(4π/5)
=2cos(4π/5)

cos(4π/5)<0なので(2)で求めたz+1/zのうち負である値がこのときのz+1/zとなる。
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z+1/z=2cos(4π/5)=(-1-√5)/2
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間違った仮定からはどんな命題でも導けます。
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図から
dθ=d(tan(θ))≒tan(dθ)
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