(2) (4)がわからないので解説をお願いします。 答えは(2)π/6 ⑷log(√2+1)です。

(2) (4)がわからないので解説をお願いします。

答えは(2)π/6 ⑷log(√2+1)です。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/09/22 23:51

(2)

不定積分を求める。

(1-cosθ)sinθ=sinθ-sinθcosθ
=sinθ-(1/2)sin2θ
だから、その不定積分は、-cosθ+(1/4)cos2θ+C

定積分の答は、π/6ではなく、1/2になる。

注：cosθ=tと置換積分する方法でもOK

(4)
置換積分する。

分母分子にcos(x)を掛けて
1/cos(x)=cos(x)/cos²(x)
=cos(x)/{1-sin²(x)}

sin(x)=tとおくと、xが0→π/4のとき、tは0→√2/2

cos(x)dx=dtなので、dx=dt/cos(x)

よって、与えられた定積分は、
∫[0→√2/2]cos(x)/(1-t²) dt/cos(x)
=∫[0→√2/2]dt/(1-t²)
となる。

ここで、1/(1-t²)=(1/2){1/(1-t)+1/(1+t)}と部分分数展開すると、上式の
不定積分は、(1/2){log|1-t|+log|1+t|}となる。
あとは計算して。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました！
とても良くわかりました^_^

お礼日時：2018/09/23 08:46