数学の質問です。 写真の問題がわかりません。 教えて下さい。お願いします。

数学の質問です。

写真の問題がわかりません。
教えて下さい。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/09/24 19:10

両問とも、図を描いて考えて下さい。

（なお、ベクトルを表す→は省略します）

(1)
点Pが球面β上にあると言うことは、ベクトルOPが平面αに垂直なベクトル（つまり、法線ベクトル）になっているということ。
ということは、平面αは、点P(x0,y0,z0)を通り、ベクトルOP(x0,y0,z0)に垂直な平面ということだから、
その方程式は、x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0ということ。
この式を整理して、平面αの方程式は、x0x+y0y+z0z-x0²-y0²-z0²=0となるが、点Pが球面β上にある
ということは、x0²+y0²+z0²=r²ということだから、この式は、x0x+y0y+z0z-r²=0となる。…答
（注：球面βの方程式は、x²+y²+z²=r²）

(2)
平面αと球面βの接点をQ(u,v,w)とすると、OQ=rであるから、u²+v²+w²=r²
一方、平面αと球面βが点Qで接しているから、ベクトルOQは平面αに垂直であり、ベクトルnも平面αに垂直だから、
ベクトルOQとベクトルnは平行ということになり、定数kを用いて、(u,v,w)=k(a,b,c)と表される。
ここで、ベクトルOQの長さはr、ベクトルnの長さは1なので、k=rということになり、(u,v,w)=r(a,b,c)ということが判る。

ベクトルOPとベクトルOQのなす角をθとおいて、その内積を考えると、OQ･OP=|OQ||OP|cosθであるが、|OP|cosθは|OQ|に
等しいから、OQ･OP=|OQ|²となる。
よって、(u,v,w)･(x0,y0,z0)=u²+v²+w²
左辺=r(a,b,c)･(x0,y0,z0)=r(ax0+by0+cz0)
右辺=r²
だから、r(ax0+by0+cz0)=r²
∴ax0+by0+cz0=r…答

この回答へのお礼

ベクトル苦手なんですけど、とても分かりやすかったです。
ありがとうございました‼

お礼日時：2018/09/27 20:13