微分方程式の問題で、(1+x)y dx+(1-y)x dy=0 がわかりません。

微分方程式の問題で、(1+x)y dx+(1-y)x dy=0 がわかりません。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/13 23:00

微分方程式(1+x)y dx+(1-y)x dy=0 ＿＿①を解け。

両辺をxyで割ると②となり、変数分離形となり、解ける。
((1+x)/x)dx+((1-y)/y) dy=0＿＿②
xを含む項を右辺に移項すると
((1-y)/y) dy=-((1+x)/x)dx＿＿③
(1/y－1) dy=-(1/x+1)dx
これを積分すると
∫(1/y－1)dy=-∫(1/x+1)dx
log(y)－y=－log(x)－x+C＿＿④
Cは任意定数である。
式④の指数関数expを取ると
yexp(－y)=(k/x)exp(－x)＿＿⑤
k=exp(C)は任意定数である。
あるいは
exp(y)/y=Kｘexp(x)＿＿⑥
K=1/kは任意定数である。
④⑤⑥はいずれも解である。これ以上簡単な式にはならない。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/10/11 11:16

(1-y)xdyを移項して両辺をxyで割れば簡単に積分できる形になりますね。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/10/10 20:12

y－logy＝x＋logx＋C　(C：積分常数)