全空間で積分の意味

只今量子化学を勉強しているのですが、参考書に出てくるこの言葉
ψ^2を全空間で積分すると1になる(1-13)
(1-13)
∫ψ^2dτ＝1
について質問があります
τはどのような意味なのでしょうか？僕は主法線ベクトルしか思いつかないのですが...
またψ^2＝A^2sin^2x/λをそのτで積分して1になるまでの過程をお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/11/01 22:22

空間の定義により dτ の具体的な形は違ってきます。

直交座標系 x,y,z の場合には dτ＝dxdydz で、全空間の範囲は
x、y、zとも ‐∞ ～ +∞ となります。
極座標系 r、θ、φ の場合には dτ＝r^2sinθdrdθdφ で、全空間の範囲は
r＝０～∞、θ＝０～π、φ＝０～２π となります。

しかし、空間が限定されている時には、全空間の範囲も限られてきます。
例えば、１次元（ｘだけ）の場合、２次元（ｘ、ｙだけ）の場合、
１次元井戸形ポテンシャル 0≦ｘ≦ a の場合等々様々です。

さて、ψ^2＝A^2sin^2x/λ の場合は、変数はｘだけですから１次元です。
それでは、全空間と云う積分範囲は -∞～∔∞ でしょうか？
ψ=Asin(x/λ）は周期関数ですから、-∞～∔∞ は意味を成さずに、
１周期x/λ＝０～２π 、つまりx=0～２πλ、で十分と云うことになります。

よって
∫ψ^2dτ＝A^2∫sin^2（x/λ）dx 　　[x=0~2π]
＝λA^2∫sin^2(X)dX 　　　[x/λ＝X、X＝0～２πλ]
　　　　＝λA^2[X/2 - sin(2X)/4]
=λA^2[πλ‐0/4-0-0]
=πλ^2*A^2 =１
したがって
　　A=1/（λ√π）

つまり波動関数は ψ=sin(x/λ)/(λ√π）となります。

検算は忘れずに。

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございます！
スッキリしました！

お礼日時：2018/11/05 06:59