ゼロで「割ることができない」ではなくゼロで「割ってはいけない」理由

タイトルの通り、数学においてゼロで「割ることができない」ではなく「割ってはいけない」という表現になっているのは何故でしょうか。

ひととおりは自分で調べて理解をしたつもりでも、まだ納得ができません。
私が理解した内容のうち最も簡単なものは次のような説明です。

ある数をゼロで割った場合に何らかの解が存在すると仮定（ここでは◯）する。
例えば、a/0＝◯　⇒　◯×0＝a　となる。
ゼロは何をかけてもゼロなので、0=aとなる。矛盾が生じる。
故にゼロで「割ってはいけない」となる。

この説明だと、一番最後の部分は「割ってはいけない」ではなく「割ることができない」とした方が明快じゃないかと感じてしまいます。
「割ってはいけない」は「実は割ることはできるけど割らないことになっている」という含みがあると思うからです。

調べてみると一部では「実はゼロで割る処理をする場合もある」という記述も見られました。でも数学という論理体系において「Aの場合はOKでBの場合はダメ」なんて事があるんでしょうか？

このサイトでも何度となく出た質問のようですし、他のブログなどの説明を見ても今ひとつ納得できません。
文系脳の私でも分かる、難しい数式を使わない説明のできる方からのご回答をお待ちしています。

質問者からの補足コメント

• 

  私の疑問は、なぜゼロで「割ることはできない」ではなく「割ってはいけない」となっているかということです。
  
  「人を殺すことはできない」と「人を殺してはいけない」では全然違いますよね。
  「人を殺してはいけない」と禁止しているのは、人を殺すことは可能だけど許容すると社会に不都合なことがあるからです。
  「ゼロで割ってはいけない」と禁止しているのは、ゼロで割ることは可能だけどそれを許すと数学的に不都合なことがあるからなのか？ということなんです。
  
  実生活においては「可能だけど許されない」ことはたくさんあります。
  一方で数学という抽象的・観念的な世界でも「可能だけど許されない」なんてあり得るんでしょうか？
  
  ゼロで割ることは可能なのか？
  不可能であるならなぜ「ゼロで割ることはできない」ではないのか？
  可能でありかつ許されていないのなら、禁止されている理由は？
  私が知りたいのはそこなのです。

    補足日時：2018/11/10 18:02

No.8 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2018/11/11 09:52

「ゼロで割ることはできない」

「ゼロで割ってはいけない」
の両者では「割る」という動詞の意味が微妙に異なっているのだと考えます。

　まず、「1/0」という式を書く事は可能です。実際書いてるし。ただし、ただ書いただけです。

[1] さて、もし「1/0は数である」という命題が真なら、"/0"というのは0による割り算を意味しており、1/0 = p となる数が存在する。pは0による割り算を実行した結果、ということです。もちろん、「1/0は数である」という命題が偽であること、それが容易に証明できるということは既にお分かりなのだろうと思います。だから、0による割り算を実行して答pを得るということは不可能である。これを標語的に言えば「ゼロで割ることはできない」となりましょう。つまり、ここで言う「割る」は、演算を実行する、ということです。

[2] 書いちゃった「1/0」という式は、少なくとも数を表してはいない。では一体何を意味しているのか。
　(A) 1/0 は何も意味しない。ナンセンスな文字列に過ぎない。
　(B) 1/0 は或る「数ではない何か」を意味している。
の二通りの考え方ができるでしょう。いずれにしても、「1/0」と書いてあるだけなら、いわば「無害」なのですが、これを「数を意味するのだ」と勘違いして、さらに演算を重ね、たとえば「(1/0)+0」と書いたとする。これは数に関する式ではなく、未定義の（意味が定まっていない）文字列ですので、(1/0)+0 = 1/0 が成り立つかどうかも不明です。No.7にあるように、式の変形を機械的に行っていくプロセスにおいて、注意しないと、このような「数に関する式ではない文字列」が作り出される。これ自体がイケナイわけではない。けれども、そうなったら「数に関する正しい推論をする」という目的が達成できなくなるという意味では、不適切な状況に陥っている。
　つまり、「ゼロで割ってはいけない」という標語の前には「数に関する正しい推論をするためには」という条件が省略されている、と考えることができます。つまり、ここで言う「割る」は、「数に関する正しい式を書こうとする中で割り算を書く」というほどの意味を担っていると言えるでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。
ゼロで割るとはある意味数学のシステムから外れた行為という訳なのですね。
例えば「1+1+犬＝5」であると強弁するような。
ゼロという存在はそれほど特殊な扱いということなのですね。

お礼日時：2018/11/11 11:08

No.7 回答者： 海月9664 回答日時： 2018/11/10 21:32

まあ割ることができないと言ってもいいんですが…

数学では集合のもとに(厳密に)定義された演算を用います。このとき
a=b
2a=a+b
2(a-b)=a-b
2=1 (a-b=0での割り算)
みたいな例で矛盾が生じるのでふさわしくないと，ゼロ割を定義しなかったのです。No2さんが仰る通り，「できない」からこそ(数学という体系の証明不可の出発点である)公理，定義としては認められません。簡単に言うとゼロ割は数学というゲームではルール違反なのです。
こういうわけでゼロ割を「することができない」より(ルール違反として)「してはいけない」と言う方が好まれると思います。

ただし数学のゲームそのものをつくり変えれば，つまり数学者さんが各々ルールを変えちゃえばゼロ割も検討することができます

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
なるほど、「ゼロで割る」とは数学というゲーム上のルール違反みたいな行為ということなのですね。
それならサッカーで「手でボールを触ってはいけない」というのと同じように捉えることができそうです。

お礼日時：2018/11/11 11:04

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/10 19:23

割ってはいけないというのは、

いつの間にか0で割っていて、それに気づかず誤った
結論を導くなってことかな。例えば

2a(a-b)=b(a-b)

両辺をa-bで割ると
2a=b

でも最初の式はa=b=1で成り立つのに
2番目の式では成り立たない。

犯人は0で割る可能性を考えてないからです(^-^;

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
「割ってはいけない」とは「知らず知らず割ってしまわないように心がけよ」くらいの意味なんでしょうか。

お礼日時：2018/11/11 11:01

No.5 回答者： head1192 回答日時： 2018/11/10 16:41

このくらいかなあ。

「12個のおまんじゅうを0人で分けます。『一人分』はいくつになりますか？」

割り算というのは要するにそういうことなので。
（もう一つあるけど）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
ご提示頂いた問いへの答を私なりに考えてみたところ次のようになりました。
「答はありません」
「割り算とは要するにそういうこと」とは「答のない問いも割り算にはあり得る」という事でしょうか？

お礼日時：2018/11/10 17:18

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/11/10 16:25

a≠０でa/0を定義できないからと思います。

１/0=∞はノルウエーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルらの数学者の一部の考え方です。
数学者の考える∞は数学者により異なります。その理由は無限を数式で定量的に表せないからです。
lim(x→0)a*(x/x)=a*(0/0)=aですね。これは０/0=1としたわけですが、０/0=1とするとあらゆる数が等しくなる矛盾が生じます。
では、lim(x→0)(a/x)*x=(a/0)*0=∞*0ですね。これはa/0を先にしたからです。
ゼロで割ってはいけないとしておくとこのような混乱は避けますよね。
lim(x→0)a*(x/x)もｘが０になる前に割っておくとaになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
丁寧にお答え頂いたのですが、専門的な話や数式は私には分かりません。

お礼日時：2018/11/10 17:14

No.3 回答者： dmk33 回答日時： 2018/11/10 15:56

以下の動画が面白いですよ

詳しく解説しています

この回答へのお礼

回答をありがとうございました。
早速動画を見てみました。とても分かりやすい解説でした。
でもなぜゼロで「割ることはできない」ではダメなのか未だに分かりません。

お礼日時：2018/11/10 16:19

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2018/11/10 15:22

> ゼロで「割ることができない」ではなく「割ってはいけない」

これは明らかに逆です。
「割ることができない」から「割ってはいけない」となるのです。

####
ゼロの世界は面白いです。
n^0=1や0!=1は、単なる定義ですが、
0^0=?で定義がされてはいません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
それならやはり「割ることができない」とすればスッキリすると思うんですが。

お礼日時：2018/11/10 15:29

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/11/10 14:56

１/0=∞と定義する数学者がいますよ♡

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
それなら1/0＝∞としておいて、「割ってはいけない」なんて分かり難い表現はやめた方が良いんじゃないかと思います。

お礼日時：2018/11/10 15:03