数学III 不定積分 積分の計算お願いします

数学III 不定積分



積分の計算お願いします

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 11:37

係数？

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 11:57

4) 置換積分で、√( x+4)=t とおけば、 t^2=x+4 x=t^2ー4

∴ 2t dt=dx ……あくまで高校数学では！
与式= ∫ dx/x・√(xー4) =∫ 1/｛ (t^2ー4)・t ｝ ・2tdt
=2 ∫ dt/｛ (t+2)(tー2)｝
=(2/4) ∫ (1/(t-2) ー1/(t+2)) dt
=(1/2)｛ log I t-2 Iーlog I t+2 I｝+C
=(1/2) ・( log｛ I √(x+4) ー2 I / log｛ I √(x+4) +2 I ｝+C

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 12:03

=(1/2) ・( log｛ I √(x+4) ー2 I / ｛ I √(x+4) +2 I ｝+C に訂正！

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 12:17

3) x^3ー1=(xー1)(x^2+x+1)より

(3x+3)/(x^3ー1)=a/(xー1) ー (bx+c)/(x^2+x+1)
これを解けば、a=b=2 ,c=1より

与式=∫ 2/(xー1) dx ー ∫ (2x+1)/(x^2+x+1) dx
=2 log I x-1 Iー∫ (x^2+x+1)' /(x^2+x+1) dx
=2 log I x-1 Iーlog (x^2+x+1) +C
=log｛ (x-1)^2 /(x^2+x+1) ｝+C

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 13:14

見えなくても答えあれば逆算してわかるのだが！？

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 14:00

1)1/x^2・(x+1)=(ax+b)/x^2 + c/(x+1) ならば

通分して解けば、a=ー1 ,b=1 ,c=1より
∫ dx/x^2・(x+1)=∫ ((ーx+1)/x^2 )dx+∫ dx/(x+1)
=ー∫ dx/x +∫ dx/x^2 +∫dx/(x+1)
=ーlog I x I +∫ (x^-2)dx+log I x+1 I
=log I (x+1)/x I ー1/x +C

No.7 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 14:26

1) ∫ dx/x^3・(x+1) ならば

1/x^3・(x+1)=(ax^2 +bx+c)/x^3 +d/(x+1) とおいて通分して解けば
a=c=1 ,b=d=ー1より

=(x^2ーx+1)/x^3 ー1/(x+1)=1/x ー1/x^2 +1/x^3 ー1/(x+1) より

与式=∫dx/x ー∫ dx/x^2 +∫ dx/x^3 ー∫dx/(x+1)
=log I x I +1/x ー1/(2x^2) ーlogI x+1 I+C
=log I x /(x+1) I +1/x ー1/(2x^2) +C

これで全てOKでしょう！

No.8 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/12 16:41

どれも基本問題なので、わからなければ、教科書の理解からはじめてください！