【数Ⅲ】この問題の十分条件（？）を考えなくていい理由を教えて下さい！

青チャート数Ⅲの、エクササイズ133に載っている問題です。

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実数全体で定義された関数 y=f(x) が2回微分可能で、常に
f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数F(x)を F(x) = e^x f(x) と定めるとき、F(x)は F''(x) = -F(x) を満たすことを示せ。
(2) F''(x) = -F(x) を満たす関数F(x)は、{F'(x)}^2 + {F(x)}^2 が定数になることを示し、
　　lim(x→∞)f(x) を求めよ。
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最後のf(x)の極限値を求めるところで、解答では、F(x) = e^x f(x) をなんの断りもなく利用しているのですが、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x) を証明する必要はないのでしょうか？(1)で、
F(x) = e^x f(x) ⇒ F''(x) = -F(x) （必要条件？）は示されますが、十分条件（？）の方は示されていないような気がします。十分条件を示さなくていいのは、なぜですか？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/25 00:05

f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x)

の f(x) や F(x) はどのように選びましょうか. 少なくとも, f(x) と F(x) をどちらも任意に選んでよいとしたら, 最後の等式が成り立たないことは自明ですよね.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/23 01:43

2点ほど確認.

1. 「十分条件（？）」はどうなりますか?
2. (1) は解けますか?

この回答へのお礼

十分条件は、
「f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x) 」
と思います。
(1)は、解けました。F'(x) = e^x{f(x)+f'(x)}、F''(x) = e^x{f(x)+f'(x)}+e^x{f'(x)+f''(x)} = -e^xf(X) = -F(x)
xで微分して、与えられた条件を使えば普通にできたと思います。
どっこかおかしな点があれば、お願いします。

お礼日時：2018/11/24 13:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/22 01:41

多分, 手順をしっかり追っ掛ければ必要十分であることがわかるんじゃないかな.

この回答へのお礼

こんばんは。ご回答ありがとうございます。
確かに、必要十分であればそのまま使えますね。解説にはそこまでの記述はないので、「手順をしっかり追いかける」のは、自分で証明してみるしかないんでしょうかね。十分条件を示さずにいきなり使ったら減点されそうですが、私にはそれを証明する力量はありません。。。青チャートだから、どなたか解いてみられた方いらっしゃらないでしょうかねえ。

お礼日時：2018/11/22 23:58