x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0 を満たす実数x,yの値を求めよ。 この問題

x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0
を満たす実数x,yの値を求めよ。
この問題をどなたか教えてください！
自分で因数分解をしてみたのですが出来なくて…

No.2 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2018/12/05 00:00

たまに見る面白い問題です。

　因数分解できないときは、作戦を変えて
　実数の性質　すなわち　　a,bが実数のときa^2+b^2=0⇄a=b=0　であることを武器にして解きます。
　x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+(4x+5)=0　　を展開してa^2+b^2=0という形に以下のように強引に変形して解いてみるのが定石でしょう。
　x^2+4xy+5y^2+14y+8+4x+5=0　　　xを同類項で整理したx^2+4(y+1)に着目してこの2項で平方完成します。
　　x^2+4(y+1)x+4(y+1)^2+y^2+6y+9=0　
　　{x+2(y+1)}^2+(y+3)^2=0　　この式はx+2(y+1)=a,y+3=bとみなせば　a^2+b^2=0と一致し、しかもx+2(y+1)も,y+3も実数です。
　よつて　x+2y+2=0かつy+3=0ですから　y=-3,x=4
　です。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます！

お礼日時：2018/12/05 00:21

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/04 21:08

x(x+4y)+(5y+4)(y+2)+4x+5=0

x^2+4xy+5y^2+14y+8+4x+5=0
x^2+4xy+5y^2+4x+14y+13=0
x=X+a
y=Y+b
とすると
(X+a)^2+4(X+a)(Y+b)+5(Y+b)^2+4(X+a)+14(Y+b)+13=0
X^2+2aX+a^2+4XY+4bX+4aY+4ab+5Y^2+10bY+5b^2+4X+4a+14Y+14b+13=0
X^2+4XY+5Y^2+(2a+4b+4)X+2(2a+5b+7)Y+a^2+4ab+5b^2+4a+14b+13=0
2a+4b+4=0
2a+5b+7=0
b+3=0
b=-3
a+2b+2=0
a+2(-3)+2=0
a-6+2=0
a=4
a^2+4ab+5b^2+4a+14b+13
=4^2+4*4(-3)+5(-3)^2+4*4+14(-3)+13
=16-48+45+16-42+13
=0
X^2+4XY+5Y^2=0
(X+2Y)^2+Y^2=0
X+2Y=0
Y=0
X=0
x=X+4
y=Y-3
x-4=X=0
y+3=Y=0
∴
x=4
y=-3