微分の定義式でx+hからx+2hに変わったら？

以下の通り、微分の定義式の問題です解答宜しくお願いします。

No.6 回答者： think2nd 回答日時： 2018/12/12 11:13

No5です。

ごめんなさい。訂正と　確認があります。
　　訂正　　"=lim[h→0]<lim[a→0]{f(x+a+h)-f(x+a)}/h}>　と解釈すれば①から(lim[h→0]とlim[a→0]のどちらを先にするかの順番は"今はやりのノリ"です)"　
　　　　を=lim[h→0]<lim[k→0]{f(x+k+h)-f(x+k)}/h}>　と解釈すれば①から(lim[h→0]とlim[k→0]のどちらを先にするかの順番は"今はやりのノリ"です)

　最後の段　　
　　"関数y=f(x)において　座標上に亀KがK(x+h,0)にいます。一方アルキメデスAがA(x+2h,0)にいて定点(x,0)に向かって
　競争しますh→0とすれば(x,0)に両者は近づきますが亀はいつもアルキメデスを後ろに見て追いつけないイメージを持ってしまいます。しかし実は(x、0)で同時にゴールするのです。"
　の部分を読むと　"アキレスと亀のパラドックスを"連想するでしょうがその話とは重ね合わせないでください。アキレスではありません、アルキメデスです。むしろウサギと亀に例えた方がよかったかなとも思います。：イメージだけ私的に書いているだけです。悪しからず。

No.5 回答者： think2nd 回答日時： 2018/12/12 10:23

No2 です。

　質問者さ~ん。　あなたはご自身で何を質問しているかわかっていますか?
　質問していることは次の2点です。
　　A　①を定義するとなぜ②となるかがわかりません。
　　B　(x,f(x))における接線がイメージできません。
　　　理解するにはどのように考えたらよいでしょうかですよ。
Aの解説をNo2のⅱで解説しています。
Bをどう理解するかをⅰで挙げています。
　以下またゲームです。
　例えば
　　　lim[h→0]{f(x+2h)-f(x+h)}/h　を①を定義して解くには　先ずhを差別化します。
　　=lim[h→0]{f(x+h+h)-f(x+h)}/h　　ここにある4つのhの2つをkとおいて
　　=lim[h→0]{f(x+k+h)-f(x+k)}/h　　として　h=kですから　h→0ならk→0となるので
　　=lim[h→0]<lim[a→0]{f(x+a+h)-f(x+a)}/h}>　と解釈すれば①から(lim[h→0]とlim[a→0]のどちらを先にするかの順番は"今はやりのノリ"です)
　　=lim[h→0]{{f(x+h)ｰf(x)}/h}　　また①から
　　=f'(x)
　　　以上じゃ異常?
　これはあなたの質問に対する、回答ではありません。
　話題がlim[h→0]{F(x,h}}の定義(処理法)にズレています。
　あなたが騙されていますよ。
　lim[h→0]{F(x,h}}をどう定義しているかを、再質問してください。
プラス
　"B　(x,f(x))における接線がイメージできません。
　　　理解するにはどのように考えたらよいでしょうか"　　に固着して再質問してください。
　
　Bについてⅰで答えたつもりですが　まだまだもやもやしていることでしょう。あなたの悩みは、健全な誰も持っている、アルキメデスさえ持ち続けた悩みです。
　以下かえって混乱させるのは承知していますが・・イメージだけの私的に書いてみます。　
　　関数y=f(x)において　座標上に亀KがK(x+h,0)にいます。一方アルキメデスAがA(x+2h,0)にいて定点(x,0)に向かって
　競争しますh→0とすれば(x,0)に両者は近づきますが亀はいつもアルキメデスを後ろに見て追いつけないイメージを持ってしまいます。しかし実は(x、0)で同時にゴールするのです。
　しかしゴールの瞬間は想像するだけで見ることできません。

No.4 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/12/10 13:46

x＋h＝yとおくと、f(x＋2h)－f(x＋h)／h＝f(y＋h)－f(y)／h

故に、lim(h→0) {f(x＋2h)－f(x＋h)}／h＝lim(h→0) {f(y＋h)－f(y)}／h＝f'(y)

だから、lim(h→0) {f(x＋2h)－f(x＋h)}／h＝lim(h→0) {f(x＋h)－f(x)}／h＝f'(x)と考えてよい。

この回答へのお礼

これも素晴らしいです。まるで教科書みたいです。2 3の方も素晴らしいですがこの回答もまた素晴らしいです。逆にこの回答を突き詰めると2 3なのでしょうね。

お礼日時：2018/12/11 06:46

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/09 15:56

横軸がxからx+hにｈだけ変化するときに、縦軸の変化量{f(x+h)-f(x)}であるので、{f(x+h)-f(x)}/hは平均の変化の割合（傾き）を表します。

この間隔hを０に近づけるのでlim{f(x+h)-f(x)}/hは点(x,f(x))における傾きを表し、
導関数の定義：lim{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)　でもありますよね
同様に、(x+h)から(x+h)+hに変化するときの、平均の変化の割合が{f(x+2h)-f(x+h)}/h・・・（A)　です。
ここで、h→0とすると上記と同様に考えて（A)は、点(x+h,f(x+h))における傾きを表すことになる・・・（B)
のがイメージできるかと思います。ただｈが含まれているので、この点(x+h,f(x+h))の位置自体も点(x,f(x))に近づくということが起こる・・・（C)のです。
従って（B)と（ｃ）を統合すると、②は点(x+h,f(x+h))における傾きを表しますが、点(x+h,f(x+h))と点(x,f(x))が一致するので、結局点(x,f(x))における傾きと言えます。すなわち②もf'(x)を表すと言えることになるのです

この回答へのお礼

有り難うございます。イメージ出来ました。x+2hがx+hに近づくとと同時にxに近づく。納得です。

お礼日時：2018/12/11 06:30

No.2 回答者： think2nd 回答日時： 2018/12/09 14:53

ゲームで考えましょう。

　ⅰ　　②に関しては、(x,f(x))に於ける接線は、仰る通り、イメージできません。
　　　　以下のように"ずる"します。　図の座標点(x+h,f(x+h))をP、(x+2h,f(x+2h))をQとします。
　　　　　さて②を"細工"します。
　　　lim[h→0]{f(x+2h)-f(x+h)}/h
　　=lim[h→0]{f(x+h+h)-f(x+h)}/h　　　　ここで、x+h=lと置くと
　　=lim[h→0]{f(l+h)-f(l)}/h　　　この式は①そのものですから
　　=lim[h→0]f'(l)=lim[h→]f'(x+h)　　　　　　　　　おや　h→0ですから
　　=f'(x)　　　　　　　　　　でしょうか。
　　　ｱ)　これを図で解説すると点Qが限りなく点Pに近づいたいた時のPにおける接線の傾きで、そのあとh→0にしていますから図の①の接線の傾きとf'(x)とリンクしません。
　　　ｲ)　lと置いてhだけ0に近づけてlを固定しているのは
　　ルール違反です。
　と宣告を受けて　退場することになります。

　　次のように分解して考えましょう
　ⅱ　　ゲームに使う武器　・①を絶対忘れないこと。理解して使えること。
　　　　　　　　　　　　　・Lim[h→α]f(x),Lim[h→α]g(x)がそれぞれ極限値を持つなら
　　　　　　　　　　　　　　　　lim[h→α]{f(x)+g(x)}=Lim[h→α]f(x)+Lim[h→α]g(x)　や
　　　　　　　　　　　　　　　　lim[h→α]kf(x)=kLim[h→α]f(x)　　　　　　　であること(αやkは何でもいい定数)
　　　　　　　　　　　　　

　　　②を変形します。目標はf'(x)です。
　　
　　　　　lim[h→0]{f(x+2h)-f(x+h)}/h
　　　=2lim[h→0]{f(x+2h)-f(x+h)}/2h
　　　=2lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)+f(x)-f(x+h)}/2h
　　　=2lim[h→0][{f(x+2h)-f(x)}/2h]+2lim[h→0]{f(x)-f(x+h)}/2h
　　　=2lim[h→0][{f(x+2h)-f(x)}/2h]-lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
　　　　　2h=lと置くとh→0のとき2h→0となり、l→0となる(←どうでしょうか?)
　　　=2lim[l→0][{f(x+l)-f(x)}/l]-lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h　　　①より
　　　=2f'(x)-f'(x)
　　　=f'(x)

この回答へのお礼

有り難うございます。素晴らしい考えです。難解ではありますが、最後はバッチリ纏まっています。

お礼日時：2018/12/11 06:27

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/09 13:09

段階的に考えましょう。

②の式は 素直に考えれば f’(x+h) であることは理解できますか?
そこで更に h→0 なのですから f’(x+h)→f’(x) となります。

この回答へのお礼

有り難うございます。確かにその通りです。何となく理解出来ました。

お礼日時：2018/12/11 06:23