100！を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7…となる。a,b,cの

100！を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7…となる。a,b,cの値を求めよ。

という数A 整数の問題です。
画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか？重複しないのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/27 12:14

＃３をもう少し簡単に・・・

２を因数に含むものは
2=2x1
4=2x2
6=2x3
8=2x2x2
10=2x5
12=2x2x3
14=2x7
16=2x2x2x2
・
・
・
100=2x2x5x5
これらの積の２の数をすべて数えたものがaですよね
という事で、数えます。
①それぞれの積の左端にある2の数は、2の倍数の個数と同じで50こ
②左から2番目に、因数2を持つ積は（2の倍数ではなく）４の倍数だから、
それぞれの積の左から2番目にある因数2の数は、４の倍数の個数と同じで25こ
③左から3番目に、因数2を持つ積は（2や4の倍数ではなく）８の倍数だから、
それぞれの積の左から3番目にある因数2の数は、８の倍数の個数と同じで12こ
以下同様に、積の左から4,5,6番目にある因数2の数も数えることが出来て
これらを足し合わせると
50+25+12+6+3+1という式になります。
３などの個数についても同様に考えられます

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/25 17:18

2の倍数は2,4,6,8,10,12,14,16・・・５０こ

2²の倍数は4,8,12,16・・・２５こ
2³の倍数は8,16・・・１２こ
・・・
このまま足していくと、たしかに重複しているように感じます
ただし、ここから発想を少し転換
2の倍数は５０こですが小さい順に2x1,2x2.2x3,2x4.2x5,2x6,2x7,2x8・・・2x50
の先頭の２が全部で50こと言う意味です（ここまでで、先頭の素因数２は５０こあることになります）
次に数え終わった因数２は消去します
すると分かりやすく「ｘ」記号は残して
x1,x,2,x3,x,4,x5,x6,x7,x8・・・x50
このうち因数２を持っている物は
x2,x4=x2x2,x6=x2x3,・・・x50=2x25で
先頭のx2は25個
これらの数はもともと
x2→2x2
x4=x2x2→2x2x2
x6=x2x3→2x2x3
でしたからこの25と言う数は
「2²の倍数は4,8,12,16・・・２５こ」の25のことを指しているのです
以下同様に数え終わった先頭の因数：x２は消去します
残ったものの中で因数２を持っている物は
x2,x4=x2x2,x6=x2x3,・・・x24=2x12
先頭のx2は１２こで
これらはもともと(2x2)x2,(2x2)x4=(2x2)x2x2・・・ですから
この１２は「2³の倍数は8,16・・・１２こ」の１２を指しています
以下同様な操作を繰り返して先頭の２だけを数えては消し、残った数の先頭の２だけを数えては消す
ということを繰り返した計算が画像です
３，５などの素因数についても同様です

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2018/12/22 08:42

まず「素因数分解」の意味を理解していますか？

”10” を「素因数分解」すると
　2×5
”100” を「素因数分解」すると
　2×2×5×5
＝2²×5²
になります。
素数の掛け算で示すことが「素因数分解」です。

そして
　100！
は、
　１から100までの連続した数字を掛けた値
ということです。
　1×2×3×4×5×6×...×98×99×100
ってこと。

ここまでは大丈夫でしょうか。
これを理解できなければ質問文に添付された解説を読んでも意味不明な呪文にしかなりませんよ。

・・・

さて、100！を素因数分解するということは、
１から100までの数字に素数はいくつあるかを考えるということです。
４なら２が２つ、６なら２と３が１つずつあるとして数えます。
　1×2×3×4×5×6×...
＝1×2×3×(2×2)×5×(2×3)×...
てこと。
この考え方ができれば、前の回答者さんの説明と質問文に添付した画像の解説を読んで理解できると思いますがいかがでしょう。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/22 07:59

例えば2ね。

10!=10×9×8×・・・・×2×1で考えて見よう。これを拡張すれば良いから・・。

この中に2と言う素因数が幾つあるかを調べる。
10=2×5：1個
9
8=2×2×2：3個
7
6=2×3：1個
5
4=2×2：2個
3
2=2：1個

10には1個、8には3個、6には1個、4には2個、2には1個、合計8個ある。

(2と言う素因数が有る)=2の倍数、の事だから。
10÷2=5、で5個の様に見えるけど、4には2が2個ある。

4の倍数には、さらに素因数2がもう1個有る。10÷2=5の5個にはカウント漏れがある。
カウント漏れの個数は10÷4=2だから2個。

これで全部かと言うと、8は2×2×2だから、さらに素因数2がもう1個有る。
これもカウント漏れ。
カウント漏れの個数は10÷8=1だから1個。

全部足すと、5+2+1=8。

この考え方を100!=100×99×98×97×96×・・・・・2×1に拡張すれば良い。
カウント漏れは、16の倍数、32の倍数、64の倍数、にもあるから注意。

素因数3や5・・・・13も同じ考え方をする。