微分方程式の運算

運算の理解に自信がありません。
①ʃ M/(Mg-kv)=dt
という微分方程式を解く過程で、
Mg-kv =wとおき
両辺の微分はlog
②0-k dv=dw
すなわち、
dv＝- dw/k
となり、元の①に代入、
公式ʃ (1/w)dw=log|w|+cという公式により
③ʃ（m/(Mg-kv)）dv=-(M/k)ʃ dw/w=-M/k log|w|+c　と説明されるのですが、質問です。
式②の左辺の第１項が０になるのはMgが実数でそれを微分したからなのか、
式③の左辺がどうして中の式になるのかわかりません。左辺の分母のMgが実数でそれをｖについて積分するから消えちゃうんでしょうか。-kvをｖについて積分するとkになるのですか？
数式が苦手で微積分わすれてしまいました。。よろしくおねがいいたします。R

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/27 15:50

＞①ʃ M/(Mg-kv)=dt

＞という微分方程式

微分方程式ではなく、
　ʃ[ M/(Mg-kv)]dv　　　①
という積分ですか？

だったら
　w = Mg - kv　　　　②
とおけば、k≠0 の条件で
　v = Mg/k - w/k
この両辺を w で微分して
　dv/dw = -1/k

従って、「置換積分」を使って
① = ʃ[ M/w ](dv/dw)dw
= ʃ[ M/w ](-1/k)dw
= -(M/k)ʃ(1/w)dw
= -(M/k)log|w| + C
です。

上記は「高校数学」での説明ですが、大学以上で「微積分」の何たるかを理解していれば、②から
　dw = -kdv　→　dv = -(1/k)dw
と求めて、「①= 」の式の２行目へ直交しても構いません。