x^2－(k＋3)x+2k＋5=0の2つの解の差が1で あるとき、定数Kの値が分からないので 計算の

x^2－(k＋3)x+2k＋5=0の2つの解の差が1で
あるとき、定数Kの値が分からないので
計算の解き方を教えてください。

No.1 回答者： puzzle_neko 回答日時： 2018/12/31 17:04

2つの解の差が１なので、解を ｘ＝ｍ、ｍ＋１とおくと、

（ｘ－ｍ）（ｘ－ｍ－１）＝０
これを展開して、問題にある式 ｘ＾２－（ｋ＋３）ｘ＋２ｋ＋５＝０　と比較。
ｋ、ｍの連立方程式になるので、これを解けばよいのでは。

No.2 回答者： あいも 回答日時： 2018/12/31 19:36

2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 について、解の公式で得られる2つの解を直接引き算すると、a=1として

√(b^2-4c) となります。この値が1なので、元の方程式にあてはめて
b^2-4c = (k+3)^2 - 4×(2k+5) = 1
つまり
k^2 -2k -12 =0
∴ k = 1 ± √13

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/02 11:38

２つの解を α、β とすると、それは、元の方程式が

　(x - α)(x - β) = 0
と書けるということです。
これを展開すれば
　x^2 - (α + β)x + αβ = 0　　　①

ここで、α<β とすると
　β = α + 1
という与条件なので、①は
　x^2 - (2α + 1)x + α(α + 1) = 0　　　②

これと与方程式が等価なので、恒等的に成立するためには
　2α + 1 = k + 3　　　　　③
　α^2 + α = 2k + 5　　　　④
ということになります。

この連立方程式を解いて、③より
　k = 2α - 2　　　⑤
④に代入して
　α^2 + α = 2(2α - 2) + 5
→　α^2 - 3α - 1 = 0
一般解は
　　α = [ 3 ± √(9 + 4) ]/2 = [ 3 ± √13 ]/2
従って、⑤より
　k = [ 3 ± √(9 + 4) ] - 2 = 1 ± √13

この回答へのお礼

よく分かりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2019/01/03 09:06