大学の代数の問題です！ G={(a,b)|a,b∈R,a≠0}とし、(Rは実数全体) G上の演算を次

大学の代数の問題です！

G={(a,b)|a,b∈R,a≠0}とし、(Rは実数全体)
G上の演算を次のように定める。
(a,b)(c,d)=(ac,ad+b) ((a,b),(c,d)∈G)
このとき、Gはこの演算に関して群であることを示しなさい。

解答を教えてください！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/23 00:45

群の定義を言えるかどうかだけの問題です。

なぜ、人に聞こうと思うのですか？
定義を覚えていなければ、教科書を見ればいいのに。

示すべきことは、
(0) この演算がG上で閉じている。
(1) この演算が結合法則を満たす。
(2) この演算が単位元を持つ。
(3) この演算が逆元を持つ。
の４点です。

(0)は忘れがちなので、スルーしないように注意。
a≠0 かつ c≠0 のとき ac≠0 なので、
(a,b)∈G かつ (c,d)∈G ならば (a,b)(c,d)∈G.

(1)これが一番、計算が面倒かな。
x=(a,b)∈G, y=(c,d)∈G, z=(e,f)∈G について
(xy)z = (ac,ad+b)(e,f) = (ace,acf+ad+b),
x(yz) = (a,b)(ce,cf+d) = (ace,acf+ad+b).
一致していますね。

(2)単位元はすぐに見つかると思います。演算が非可換なので、
左単位元と右単位元を両方示さなければならないことに注意。
(x,y)(c,d)=(xc,xd+y)=(c,d),
(a,b)(x,y)=(ax,ay+b)=(a,b) を解いて、(x,y)=(1,0).
(1,0)が単位元になっています。

(3)逆元もすぐに見つかるでしょう。
(x,y)(c,d)=(xc,xd+y)=(1,0),
(c,d)(x,y)=(cx,cy+d)=(1,0) を解いて、(x,y)=(1/c,-d/c).
(c,d)の逆元は(1/c,-d/c)です。