統計学の問題です！ 支持率pが4割〜6割と予想される政策に関する世論調査をn人に対して行い、pの信頼

統計学の問題です！

支持率pが4割〜6割と予想される政策に関する世論調査をn人に対して行い、pの信頼区間を(±1%)程度の幅にしたい。nの最小値を求めよ。

解き方がよく分からないので解説お願いします…

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/30 19:51

1回の生起確率 p の事象が、n回の独立反復で k 回起こる

k の確率分布は、二項分布 B(n,p) です。
n が十分大きいならば、中心極限定理により、k/n の分布は
正規分布 N(p,p(1-p)/n) で近似できます。
この正規分布の確率密度を f(x) と置きます。

世論調査から p を k/n と推定した場合、
この推定の危険率 q での信頼区間を幅 ±1% にするためには、
∫[(0.99)p 〜 (1.01)p] f(x)dx ≧ 1-q　←[*]
となるように n を選べばいい。
条件 q を与えないと、答えは出ませんね。

x が N(m,v) に従うとき、y = (x-m)/√v で定義した
y は N(0,1) に従います。y の確率密度を g(y) と置きましょう。
式[*]は ∫[-w 〜 w] g(y)dy ≧ 1-q,
ただし w = (0.01)p/√{p(1-p)/n} = (0.01)(√n)√{p/(1-p)}
と書き換えられます。
g は遇関数で、∫[-∞ 〜 +∞] g(y)dy = 1 ですから、
更に ∫[0 〜 w] g(y)dy ≦ q/2 とも書けます。
∫[0 〜 w] g(y)dy の値は、「正規分布表」といって
統計の教科書の巻末にたいてい載っていますから、
希望の q に応じた w を表から読み取ることができます。

そこで w = (0.01)(√n)√{p/(1-p)} となる n を
求めればよいのですが、この式に p が現れていることは
やや問題です。事前に得られている大まかな推定
0.4 < p < 0.6 を使うしかないでしょう。
0.4 < p < 0.6 のとき √(2/3) < √{p/(1-p)} < √(3/2)
だから、求める n を厳しめ(大きめ)に評価して
n ≒ (w/0.01)^2 / (2/3) ≒ 15000・w^2
程度に n を決めればいいでしょう。