整数解を求めよ

2*x^2+11*x*y+12*y^2-5*y-58=0　の整数解を求めよ.

これが　双曲線であることから　漸近線を　先ず　求めて
　　　　　　　解決しなさい;

また　双曲線を未履修者　に対して　解法の詳細を記述せよ;

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/08 20:46

左辺の式 2x^2 + 11xy + 12y^2 - 5y - 58

の二次項 2x^2 + 11xy + 12y^2 を因数分解して、
2x^2 + 11xy + 12y^2 = (2x + 3y)(x + 4y).

ここから (2x + 3y + a)(x + 4y + b) という式を　←[1]
展開して一次項が原式と一致するようにすれば、
(2x + 3y + a)(x + 4y + b)
= 2x^2 + 11xy + 12y^2 + (a+2b)x + (4a+3b)y + ab と
2x^2 + 11xy + 12y^2 - 5y - 58 を係数比較して、
a + b = 0, 4a + 3b = -5 より a = -2, b = 1.

これを使って原式は
(2x + 3y - 2)(x + 4y + 1) = 58 - 2 と変形できる。　←[2]
右辺を素因数分解して、56 = (2^3)7.
x,y が整数のとき 2x+3y-2, x+4y+1 は整数だから、
積の分解は ±(2x+3y-2,x+4y+1) =
= (1,56),(2,28),(4,14),(8,7),(7,8),(14,4),(28,2),(56,1)
の中になければならない。　←[3]

各組について連立一次方程式を解いてみると、
x,y が整数となる組み合わせは
(x,y) = (-13,10),(-3,4),(0,-2),(-19,4),(-42,10)
の 5 通りであった。

[1]の置き方で[2]の形に変形できることは、経験したことがないと
自力で思いつくのは難しいかもしれない。
二次曲線の標準形を導くとき、二次項のなす二次形式を標準化
したあとに平行移動で一次項を整理したことを思い出せば、
この変形に気づくことは可能だろうけれども。
[2]の式から定数項を素因数分解して解の候補を[3]に限定する
ことは、不定方程式を扱う際の常套手段である。
今回は[3]の候補数がやや多く、その後の処理は面倒臭いが、
地道に連立方程式たちを解けば、全ての解が得られる。