愛知県高校入試の数学の問題の解き方を教えてください。 この図のABは直径で、CとDはABを直径とする

愛知県高校入試の数学の問題の解き方を教えてください。
この図のABは直径で、CとDはABを直径とする半円O上の点、Eは直線ACとBDの交点です。半円Oの半径が5cmで弧CDの長さが2πcmの時の∠CEDの大きさを何度か求めるのですが、二等辺三角形を作ってみたりして求めようとしたのですが出来ませんでした。
直径の円周角が90度ということも使うのでしょうか？わかる方解説お願いします。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/09 14:48

No.2 冴えてますねえ。

あの「反則技」についてちょっと補足。

写真の問題は、弧CDの長さが与えられているだけで、
それが弧ABの中のどこにあるかを指定していない。
それでも∠CEDの大きさが決まるというのであれば、
弧CDをどこへもっていっても∠CEDは同じ大きさだよね？
ということで、∠CEDが求めやすい弧CDの位置を
勝手に選んで使っているのです。

算数ならではの裏ワザですが、数学でも使えます。
数学でこれを使うには、このNo.4に書いたような説明を
答案にひとこと添える必要がありますね。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/09 13:51

使います！∠ ACB=90° ∴ ∠ CED=９０°ー∠ CBD ……(1)

ここで、∠ CBDは、弧CDの円周角だから、
弧CDが2πだから、中心角は、
2π/全円周=2π/ 2・5π=1/5 だから、360・1/5=36・2
∴ ∠ CBD=36
よって、∠ CED=90-36=54°
なお、弧度法では、π/2ー2π/(5・2)=3π/10

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/03/09 08:24

ちょっと反則技を使ってみよう。

設問の範囲内で図を書き換えるんだ。
すると下に示した図のようになる。
この時、角CODが72°になる事が分かれば、あとは解けるだろ？
弧CDが円周に対してどのくらいの大きさなのかが分かれば各CODは求められる。

ただ、回答は弧度法で示したほうが良いでしょう。

・・・
こんな感じに図を置き換えるだけで実は簡単に解ける問題は結構多い。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/09 02:16

弧CDが 2π[cm]だから、∠COD = 2π(2π/10π) = (2/5)π.

二等辺三角形から ∠OAC = ∠OCA, ∠OBD = ∠ODB だから、
∠OCA = (π - ∠AOC)/2, ∠ODB = (π - ∠BOD)/2.

これらを使って、
∠CED = 2π - (∠COD + ∠OCE + ∠ODE)
= 2π - (2/5)π - (π - ∠OCA) - (π - ∠ODB)
= -(2/5)π + ∠OCA + ∠ODB
= -(2/5)π + (π - ∠AOC)/2 + (π - ∠BOD)/2
= (3/5)π - (∠AOC + ∠BOD)/2
= (3/5)π - (π - ∠COD)/2
= (3/5)π - (π - (2/5)π)/2
= (3/10)π.