Sn＝（1/1×2×3）＋（1/2×3×4）＋…＋〈1/n（n＋1）（n＋2）〉 （n＝1.2.3･

Sn＝（1/1×2×3）＋（1/2×3×4）＋…＋〈1/n（n＋1）（n＋2）〉 （n＝1.2.3･･･）の解法を教えて頂きたいです

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/19 17:39

部分分数分解を使える形ですか？

Sn=Σk;1…n 1/｛k(k+1)(k+2)｝ならば
=∫ 1…n k〔ー3〕⊿k =［ k〔ー2〕/(-3+1)］n+1→1=(ー1/2)［ 1/k(k+1)］n+1→1
=(ー1/2)［ 1/(n+1)(n+2) ー1/2 )=1/4ー1/｛2(n+1)(n+2)｝

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/03/16 12:29

No.1と同じやり方です。

次の式の左辺を通分すると右辺になり式①になります。
1/n(n＋1)－1/(n＋1)(n＋2)＝(n＋2)/{n(n＋1)(n＋2)}－n/{n(n＋1)(n＋2)}
＝{n＋2－n}/{n(n＋1)(n＋2)}＝2/{n(n＋1)(n＋2)}_＿①
両辺を2で割ると、式②となる。
(1/2)･1/(n(n＋1))－(1/2)･1/((n＋1)(n＋2))＝1/(n(n＋1)(n＋2))_＿②
式②に、n=1を入れると③となる。
式②に、n=３，4，･･･nを入れると④，⑤･･･⑦となる。
(1/2)･1/(1×2)－(1/2)･1/(2×3)＝1/(1×2×3)_＿③
(1/2)･1/(2×3)－(1/2)･1/(3×4)＝1/(2×3×4)_＿④
(1/2)･1/(3×4)－(1/2)･1/(4×5)＝1/(3×4×5)_＿⑤
　･･･
(1/2)･1/(n(n＋1))－(1/2)･1/((n＋1)(n＋2))＝1/(n(n＋1)(n＋2))_＿⑦
③，④，⑤･･･⑦の式の両辺を全部たすと式⑧となる。
左辺では、③の第2項と④の第１項はたすと消える。④の第2項と⑤の第１項も消える。
最初の③の第1項と最後の⑦の第2項だけが残る。
(1/2)･1/(1×2)－(1/2)･1/((n＋1)(n＋2))＝1/(1×2×3)+1/(2×3×4)
　　＋1/(3×4×5)+･･･+1/(n(n＋1)(n＋2))_＿⑧
⑧の右辺は、問題のSnである。ゆえに
Sn＝(1/2)･1/(1×2)－(1/2)･1/((n＋1)(n＋2))＝1/4－1/((2(n＋1)(n＋2))_＿⑨
が答えである。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/03/13 16:46

2/{ n(n+1)(n+2) }＝ 1/{ n(n+1) }- 1/{ (n+1)(n+2) }

であることをご確認ください。
あとは　Σ1/n(n+1)
と同じように、、、最初と最後が残るってやつです。
（2倍というか1/2を忘れずにね）