高１数学の合同式の問題なんですけど 問四の(2)のやり方と答えを知りたいです。 (2)は(1)を使っ

高１数学の合同式の問題なんですけど
問四の(2)のやり方と答えを知りたいです。
(2)は(1)を使って解きます。
明日授業で聞かれるのでなるべく早めにお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/03/14 17:07

では、背理法でも

a＝３ｍ±１、ｂ＝３ｎ±１両方3の倍数でないと仮定
a²＝９ｍ²±６ｍ＋１、ｂ²＝９ｎ²±６ｎ＋１
a²＋ｂ²＝９（ｍ²＋ｎ²）±６（ｍ＋ｎ）＋２・・・３で割ると余り２
一方ｃ²を３で割ると余りは０か１
よって、a²＋ｂ²≠ｃ²で仮定は矛盾する。
従って、a、ｂのいずれかは３の倍数である。
a、ｂ共に３の倍数である場合はｃも3の倍数たりうる。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/14 23:48

mod だと代入の場合の数が有限だから、

表にして検証しちゃえばいいんですよ。

mod 3 で a^2+b^2+c^2 であれば...
a　b　a^2+b^2　c^2　　c
0　0　0　　　　　0　　0
0　1　1　　　　　1　　1 または 2
0　2　1　　　　　1　　1 または 2
1　0　1　　　　　1　　1 または 2
1　1　2　　　　　2　　存在しない
1　2　2　　　　　2　　存在しない
2　0　1　　　　　1　　1 または 2
2　1　2　　　　　2　　存在しない
2　2　2　　　　　2　　存在しない

対応する c が存在する a, b の組は、
表よりどちらか一方は ≡0 (mod3) です。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/14 19:01

全ての数は、a=3n、3n±1 の3通りであり

その2乗は、(3n)^2≡0 (mod3) ,(3n±1)^2≡1 (mod3)

a,b=3n±1とすれば、その2乗は、どちらも 1 (mod3)であり、その和は、1+1≡2 (mod3)
であり、(1)に矛盾するから、どちらかが、3の倍数である。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/14 16:17

対偶を証明しといた。

背理法でも同じ様なもの。

a,bの両方が3の倍数では無いと仮定する。

a²≡1(mod3)、b²≡1(mod3)。辺々足すと、a²+b²≡2(mod3)
1方、c²≡0(mod3)またはc²≡1(mod3)となるので
a²+b²≡c²(mod3)は成り立たない。
a²+b²=c²なら、a²+b²≡c²(mod3)となるので、矛盾。

∴a²+b²=c²なら（a,bの両方が3の倍数では無い）が否定された。

つまりa²+b²=c²ならa,bの少なくとも片方は3の倍数。