なぜ力積を時間に関して積分すると運動エネルギーを求める式が導けるのでしょうか？ ちなみに、仕事量と運

なぜ力積を時間に関して積分すると運動エネルギーを求める式が導けるのでしょうか？
ちなみに、仕事量と運動エネルギーは同じものですか？
また、力積を速度に関して積分すると運動エネルギーの式になるのは偶然ですか？
正直速度に関して積分するイメージがつかないためたまたま運動エネルギーの式になったのかなと思いました。

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/04 20:45

>なぜ力積を時間に関して積分すると運動エネルギーを求める式が導けるのでしょうか？

導けません。そもそもカ積はベクトル量。それを時間積分しても
ベクトル量です。絶対にエネルギーにはなりません。

No.8 回答者： fxq11011 回答日時： 2019/04/06 11:11

＞仕事量と運動エネルギーは同じものですか

まったく別ものと考えるほうが正解と思います。
ただ特定の仕事量と特定の運動エネルギーであれば等価である場合はあるかと・・・。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/05 07:35

>力積を速度に関して積分すると運動エネルギーの式になるのは偶然ですか？

Fdx=m(dv/dt)dx=m(dv/dt)(dx/dt)dt=mv(dv/dt)dt=mv・dv
必然です。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2019/04/04 18:34

No.3です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞力そのものを変位で積分とは力mgにhを掛ければmghが仕事を表すと言うことでしょうか？

はい。「重力場」での位置エネルギーの差はそうなります。

＞また、運動エネルギーはmahではなく1/2mv^2なのはなぜでしょうか？

何をしようとしているのか、全く不明です。
力 F=ma の右辺の「加速度 a」は、「a = dv/dt = d²x/dt²」ですから、x の関数でもあり、t の関数でもあります。
どんな物理量を、どの変数で、どのように積分するのかをきちんと議論しないと意味がありません。

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/04/04 17:45

バネで吊るした質点の１自由度系の運動方程式は，習ってないかもしれませんが u を質点の移動量だとすると

　　m u'' + k u = f

になります。m は質量，k はバネ定数，f は外力です。プライム ' は時間微分です。これをある t = τ の瞬間の前後（τ-ε/2<t<τ+ε/2）で積分すると

　　m u'(τ+ε/2) - m u'(τ-ε/2) = ∫ f(t) dt

になります。この右辺が力積で，これは運動量の式（我々は運動量保存則）です。

　一方，上の運動方程式に速度 u' を掛け算して積分すると

　　1/2 m (u')^2 + 1/2 k u^2 = ∫ f(t) u' dt + const. = ∫ f(t) du + const.

になり，左辺が運動エネルギと位置エネルギの和で，右辺が外力 f のポテンシャルになり，これがエネルギ保存則になります。ですから，力積をさらに積分するという行為がよく理解できませんが，上式の

　　∫∫ f(t) dt dt

とするのでしょうか？　と，質問に質問してしまいました。ごめんなさい。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/04/04 16:58

「力積」ではなく、「力」そのものを変位で積分する「仕事」になります。

「仕事」を加えると、エネルギーが増えます。逆にいえば「仕事はエネルギーの変化分」（仕事を加える前後のエネルギーの差）です。

「力」を時間で成分すると、「運動量の変化分」になります。
この「積分時間」を「力が一定とみなせる非常に小さな時間」にすると、それが「力積」です。高校物理では、それを『「力積」は、力を加える前後の運動量の差に等しい』と習いますね。

この回答へのお礼

力そのものを変位で積分とは力mgにhを掛ければmghが仕事を表すと言うことでしょうか？
また、運動エネルギーはmahではなく1/2mv^2なのはなぜでしょうか？

お礼日時：2019/04/04 17:52

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/04/04 16:37

>なぜ力積を時間に関して積分すると運動エネルギーを求める式が導けるのでしょうか？

できません。
次元が違います。誰ですか、そんなウソを吹き込んだのは。


>仕事量と運動エネルギーは同じものですか？
この二つは明らかに違うものですが密接な関係があります。
仕事はある物体に対してかかった力を移動距離で積分したものです。仕事を行うには時間が必要で物体に変化が起こります。

運動エネルギーはその物体の質量と速度の2乗の積に比例する量で、そのエネルギーを開放することで他の物体に対して仕事をすることができます。

仕事とはエネルギーを別のエネルギーに変換することを意味します。


>力積を速度に関して積分すると運動エネルギーの式になるのは偶然ですか？
? 数学的な操作でそんな式にはなりそうですが物理的な意味はあるの?
力と速度の内積を時間で積分すると仕事の式になります。物理的に意味はありますし、それを数学的に裏付けることもできる。
仕事はエネルギーの形態を変えることを意味しますので、運動エネルギーの変化として現れることになります。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/04/04 16:21

加速度の積分が速度、速度の積分が移動距離、になります。

逆に見れば、位置の微分が速度、速度の微分が加速度、になります。
最初は理解できなくても、使っているうちに理解できてきます。

> 仕事量と運動エネルギーは同じものですか？
両者ともに、単位は[J]で、同じものです。

> たまたま運動エネルギーの式になったのかな
その関連付けが証明された結果の「公式」です。