ドモアブルの定理を帰納法や微分以外の方法で証明出来ないでしょうか？ 過去に変数に番号を付けて幾何学的

ドモアブルの定理を帰納法や微分以外の方法で証明出来ないでしょうか？
過去に変数に番号を付けて幾何学的に導いた解答はあったのですが消されてしまいました。

No.2 ベストアンサー 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/16 22:50

cosθ+isinθっていうのは複素数の回転に対応する演算子ですから(θラジアン回転)

それをn乗,つまりn回回転操作をおこなえば
θ×nでnθ回転します
なのでcosnθ+isinnθと証明されます
幾何学的な証明だとこれしか思いつきませんね...

No.3 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2019/04/21 16:38

頑張って証明してみましょう。

目指せノーベル賞(^o^)／

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/13 19:25

{cos(a) + i・sin(a)}{cos(b) + i・sin(b)} = cos(a+b) + i・sin(a+b)

は角度の加法定理を用いれば直ちに導けます。

つまり、複素数の掛け算は偏角の足し算だから
{cos(a) + i・sin(a)}^n
= {cos(a) + i・sin(a)}{cos(a) + i・sin(a)}・・・・{cos(a) + i・sin(a)} (n回の掛け合わせ)
= {cos(a) + i・sin(a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-1)
={cos(2a) + i・sin(2a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-2)
={cos(3a) + i・sin(3a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-3)
・
・
={cos(na) + i・sin(na)}{cos(a) + i・sin(a)}^(0)
=cos(na) + i・sin(na)

つまり a を n回足すと na のなるということと同等。