積分の問題です。

6t^2/(1+t^2)の積分を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： xs200 回答日時： 2019/04/15 15:44

この公式だけで解けます

∫1/(x^2+a^2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C

∫6t^2/(1+t^2)dt
=6∫t^2/(1+t^2)dt
=6∫(t^2+1-1)/(t^2+1)dt
=6∫(t^2+1)/(t^2+1)dt-∫1/(t^2+1)dt
=6(t-arctan(t))+C

この回答へのお礼

皆さんありがとうございます。
一番スマートに答えて下さったのでベストアンサーとさせていただきます。

お礼日時：2019/04/16 10:17

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/15 14:58

＃２　最後の変換を忘れていました

続き=6t-６tan⁻¹ｔ+C

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/15 14:55

1/(a²+t²)関連の積分では

t=a・tanθと置く方法は参考書に必ずと言っていいくらい載っている、いわば定跡です！

今回はa=1ですから
t=tanθと置けば
dt=dθ/cos²θ
∫6t^2/(1+t^2)dt=∫{6tan²θ/(1+tan²θ)}・(1/cos²θ)dθ
=∫[6tan²θ/{cos²θ(1+tan²θ)}]dθ
＝∫[6tan²θ/{cos²θ+sin²θ}]dθ
=6∫tan²θdθ
=6∫{(1/cos²θ)-1}dθ・・・sin²θ+cos²θ=１⇔tan²θ+1=1/cos²θより
＝6tanθ-6θ+C

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/04/15 13:59

t=tan²ｘ　あたりで置き換えてみたらどうだろう

dt = 1/cos²ｘ　dx
1/(1+t²)
＝1/（1+sin²x/cos²x）
＝cos²ｘ/（sin²ｘ+cos²ｘ）
＝cos²ｘ
だから、、、

∫6t²/(1+t²)　dt
＝6∫sin²ｘ/cos²ｘ　dx
＝6∫(1-cos²ｘ)/cos²ｘ　dx
=6∫1/cos²x-1 dx
=6(tanx-x)+C

tanx=√ｔ　で置き換えれて終わりかな？
検算、、、したくないね。