計算の話で、求めたいのは抵抗の抵抗値です。 x軸を電圧、y軸を電流として散布図を書く。 それを近似曲

計算の話で、求めたいのは抵抗の抵抗値です。
x軸を電圧、y軸を電流として散布図を書く。
それを近似曲線の直線で表すのですが、散布図なのでちゃんとした？傾きがわかりません。最小二乗法を用いて計算します。
エクセルで最小二乗法を用いて傾きaと切片bはわかったはずなのですが、これらを使って抵抗の抵抗値を求められるのですか？
文章が下手でわかりにくいとは思いますが、よろしくお願いします。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/05/11 13:03

ご質問からははっきりわかりませんが、ま、電圧が正確にわかっていて、その時の電流を測ったのだとしましょう。

　第k回目の測定の際の電圧がv[k]、測定結果として電流がi[k]だったとします(k=1,2,…,K)。そのときの測定誤差をε[k]として
　　i[k] = v[k]/R + ε[k]
というモデルからRを計算する話ですね。
　ここで、「ε[k]を確率変数だと思った時の分布」がi[k]とどんな関係にあるか、というところがポイントになります。（たとえば電流の大きさに合わせて計器のレンジを切り替えた、ということがあると、切り替えによってε[k]の分布の幅が変化しますね。）

　ま、ここでは ε[k]の分布はkやi[k]とは無関係（独立）だったとして、かつ、どのkについても|ε[k]/i[k]|≪1だったとして、話を進めましょう。そういう仮定の下では
　　E = Σ(ε[k]^2) （Σはk=1,2,…,Kに関する総和。以下同様）
を最小にするRを求める最小二乗法を考えればいいでしょう。すなわち
　　∂E/∂R = 0
となるRを求める。実際に微分してみれば
　　2Σ((i[k] - v[k]/R)v[k]/(R^2)) = 0
となって
　　R = Σ(v[k]^2) / Σ(i[k]v[k])
と解け、Rが計算できます。（Rに及ぼす測定誤差の影響は、v[k]が大きいほど小さくなるわけです。また、このRは「(v[k]/i[k])のkに関する平均値」とは一致しません。）

　次に、ε[k]の分散の推定値σ^2を、このRを使って
　　σ^2 =(Σ(i[k] - v[k]/R)^2)/(K-1)
と計算すると、以下のようにしてRの誤差ΔRが評価できます。すなわち(R-ΔR)が「真値」だとすると
　　∂R/∂ε[h] = ∂R/∂i[h] = -v[h] Σ(v[k]^2) / (Σ(i[k]v[k]))^2
であり、|ε[k]/i[k]|≪1なので「正規分布の重み付きの和」を考えれば
　　((ΔRの分散)の期待値) ≒ (σ^2) Σ((∂R/∂ε[h])^2) （Σはh=1,2,…,Kに関する総和）

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/05/06 22:00

企業でSQCを推進する立場にある者です。

x軸を電圧、y軸を電流というグラフでかまいません。抵抗値はその回帰係数（傾き）の逆数です。

たぶん、安定化電源で電圧を振りながら印加し、そのときの電流を観測しているのでしょう。その場合、x軸、y軸を逆にしてはいけません。回帰はy軸方向にばらつきを持つという「決まり」があります。x軸が観測条件、y軸が誤差を伴う観測値です。

切片は常に０です。Excelでもその指定ができます。

さらに、
もし誤差が観測条件ｘによらず一定なら、等分散仮定となり、原点比例回帰の回帰係数βは、Sxy／Sxxになります。Sの記号は偏差平方和です。

もし、誤差がｘに比例して大きくなっていくのであれば、CV（変動係数）一定仮定となり、原点比例回帰の回帰係数βは、1/n・Σ（yi/xi）になります。各観測のy/xの平均です。

もし、誤差が√ｘに比例して大きくなっていくのであれば、ポアソンモデルとなり、原点比例回帰の回帰係数βは、Σyi／Σxiになります。総和分の総和です。

抵抗値は、一般にCV一定です。つまりプラスマイナス何％という誤差です。このような物理モデルに合った回帰係数を用いることが肝要です。

なお、Excelでは等分散仮定しか求めることができません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/06 00:22

＞これらを使って抵抗の抵抗値を求められるのですか？

そのままでは求まりませんね。
オームの法則は
　E = IR
ですから、「切片b」は存在しません。

単純な最小二乗法ではなく、「原点を通る直線」を最小二乗法で求めないといけませんね。
そうすれば、そのプロットから得られた傾きが「ａ」なら
　Ｒ= 1/a
です。
プロットが「x軸を電圧、y軸を電流」にしているので、
　　I = (1/R)E
のグラフを書いていることになるからです。

きちんと、目的とする「意味」を持った「目的関数」を設定して最小二乗法を使わないといけません。

No.1 回答者： oo14 回答日時： 2019/05/05 21:46

そんな面倒くさいことをしなくても、

電圧/電流=抵抗　それ以上でも以下でもありません。
測定誤差を補正したいだけとかでないのですか？
さらに別のパラメータ（温度とか）があるなら別ですが。