(1)問題は写真です。。。 (2)2つのベクトルa=(0,-2,2)、ベクトルb=(-3,6,-2)

(1)問題は写真です。。。

(2)2つのベクトルa=(0,-2,2)、ベクトルb=(-3,6,-2)の内積とそのなす角θの余弦を求めよ。

お願いします。。。
解説と答えを教えてください。。。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/15 21:58

立体ですね。

原点と基本ベクトル３個を定めて
各位置ベクトルを表示しましょう。
それが済めば、あとは単純な式計算です。

原点をA、基本ベクトルを(→AB),(→AD),(→AE)としてみようかな。
(→AB) = (→b), (→AD) = (→d), (→AE) = (→e) と置きましょう。

ABCD-EFGHが(一辺2の)立方体なので、
(→AC) = (→AB) + (→AD) = (→b) + (→d),
(→AF) = (→AE) + (→EF) = (→e) + (→b),
(→AG) = (→AE) + (→AC) = (→e) + (→b) + (→d),
(→AH) = (→AE) + (→EH) = (→e) + (→d),
|→b| = |→d| = |→e| = 2,
(→b)・(→d) = (→d)・(→e) = (→e)・(→b) = 0.

(→AP) = s(→AF) = t(→AB) + (1-t)(→AE) より
s(→b) + s(→e) = t(→b) + (1-t)(→e) で
s = t, s = 1-t すなわち s = t = 1/2.
(→AP) = (1/2)(→b) + (1/2)(→e).

(→AQ) = u(→AB) + (1-u)(→AG) = v(→AC) + (1-v)(→AF) より
(→b) + (1-u)(→d) + (1-u)(→e) = (→b) + v(→d) + (1-v)(→e) で
1-u = v, 1-u = 1-v すなわち u = v = 1/2.
(→AQ) = (→b) + (1/2)(→d) + (1/2)(→e).

以上を使って、
(1)　(→AC)・(→AB) = { (→b) + (→d) }・(→b) = (→b)・(→b) + (→d)・(→b) = 2^2 + 0 = 4.
(２)　(→AC)・(→DH) = (→AC)・{ (→AH) - (→AD) }
　　= { (→b) + (→d) }・(→e) = (→b)・(→e) + (→d)・(→e) = 0 + 0 = 0.
(3)　(→AC)・(→AF) = { (→b) + (→d) }・{ (→e) + (→b) }
　　= (→b)・(→e) + (→d)・(→e) + (→b)・(→b) + (→d)・(→b) = 0 + 0 + 2^2 + 0 = 4.
(4)　(→AP)・(→HG) = (→AP)・{ (→AG) - (→AH) } = { (1/2)(→b) + (1/2)(→e) }・(→b)
　　= (1/2)(→b)・(→b) + (1/2)(→e)・(→b) = (1/2)2^2 + 0 = 2.
(5)　(→AP)・(→FQ) = (→AP)・{ (→AQ) - (→AF) } = { (1/2)(→b) + (1/2)(→e) }・{ (1/2)(→d) - (1/2)(→e) }
　　= (1/4){ (→b)・(→d) + (→e)・(→d) - (→b)・(→e) - (→e)・(→e) } = (1/4){ 0 + 0 - 0 - 2^2) = -1.
(6)　(→AP)・(→AQ) = { (1/2)(→b) + (1/2)(→e) }・{ (→b) + (1/2)(→d) + (1/2)(→e) }
　　= (1/2)(→b)・(→b) + (1/2)(→e)・(→b) + (1/4)(→b)・(→d) + (1/4)(→e)・(→d) + (1/4)(→b)・(→e) + (1/4)(→e)・(→e)
　　= (1/2)2^2 + 0 + 0 + 0 + 0 + (1/4)2^2 = 3.

途中で幾何学的知識を使うと計算をshort cutできる個所がありますが、
検算がややこしくなるので、計算に徹したほうが得策です。

この回答へのお礼

クソ分かりやすい説明ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 22:23