xで微分するとaになる関数はax+bだけである事は示せますでしょうか？

xで微分するとaになる関数はax+bだけである事は示せますでしょうか？

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/17 13:38

背理法で

xで微分するとaにならない場合の関数ｆ（ｘ）とすると
ｄｆ（ｘ）/dx≠a
df(x)≠adx 両辺を積分して
ｆ（ｘ）≠aｘ＋ｂ（積分定数）⇒結論に反する。
よって、命題は正しい。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/05/17 13:59

すべての微分可能な関数は多項式であらすことができるんじゃなかったっけ？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/17 19:06

(d/dx)f(x) = a を満たす f(x) は f(x) = ax+b だけか？ ということですね。

g(x) = f(x) - ax と置いてみましょう。質問は
(d/dx)g(x) = 0 を満たす g(x) は g(x) = (定数) だけか？ と書けます。

g(A) ≠ g(B) となる A,B が存在したとすると、平均値定理から、
(d/dx)f(c) = ( g(A) - g(B) )/(A-B) ≠ 0 となる c が
A < c < B の範囲に存在することになります。
それは、仮定 (d/dx)g(x) = 0 に反します。
よって背理法により、g(x) は定数関数です。
この定数を b と置けば f(x) = ax+b と求められ、解は他にはありません。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/05/17 21:54

皆さんごちゃごちゃやってますが、こんなの微分方程式を解くだけのことでしょ。

「aが定数のとき、dy/dx=aを満たすxの関数yを求めよ。」という問題を解くということ。

変数分離形だから、
dy/dx=a
∫dy=∫adx
y+c1=ax+c2　（c1、c2は積分定数）

∴y=ax+b　(c2-c1を定数bとおいた）

以上、質問の趣旨が示された。終了。

この回答へのお礼

それって関数求めただけで一意性は示されてないのでは？

お礼日時：2019/05/17 22:24

No.5 回答者： springside 回答日時： 2019/05/17 23:29

示されてますよ。

微分方程式を解く過程において、「dy/dx=aであること」と「y=ax+bであること」の同値性が担保されているから。
（だから、dy/dx=aを満たすyはy=ax+b以外にはないといえる）

わかりやすい例で言うと、2x+4=0を解くとx=-2ですが、「2x+4=0であること」と「x=-2であること」の同値性は担保されているでしょ。
（x=-2以外にも解があるかも知れない、なんて考える人はいない）

この回答へのお礼

同値性が崩れる微分方程式の解き方ってありますか？

お礼日時：2019/05/18 00:04

No.6 回答者： springside 回答日時： 2019/05/17 23:38

言い方を変えると、微分方程式を解く過程において、y=ax+b以外の解が入り込む余地がないから。

（2x+4=0を解く過程において、x=-2以外の解が入り込む余地がないのと同じ）

No.7 回答者： uyama33 回答日時： 2019/05/18 08:16

微分方程式の解の存在と一意性

については、
微分方程式の本の最初に書いてあるのが普通です。

たとえば、微分方程式の解法　吉田耕作　岩波全書　3ページ
に書いてあります。
ただし、この本の証明は記号があやふやで雑な証明です。自分で書き直す必要が有ります。
ポントリヤーギン　の　常微分方程式論（だったかな？）
の証明のほうが良いと思います。
それにしても、けっこう面倒です。

また、扱う関数の範囲を拡張する場合は
リース、ナジー　の　関数解析学　上巻
を読んでください。

どちらの場合にも
実数の性質について勉強しておく必要が有ります。
これについては解析学の本、位相の本を見てください。

No.8 回答者： koji25 回答日時： 2019/05/18 22:00

積分するだけです。