VをR(実数体)上のベクトル空間としてv_1,.....v_nをその基底とする。あらかじめ定められた

VをR(実数体)上のベクトル空間としてv_1,.....v_nをその基底とする。あらかじめ定められたa_i∈Z(有理整数環)(i=1,....,,m)
について
A={x_1v_1+.....+x_nv_n|x_i∈R,|x_i-a_i|<1,(i=1,....,,m)}
(有理整数環)
は開集合であることを定義に従って示してください。

位相は通常の位相(距離位相)を考えます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/20 18:15

ついでによく見ると、Aは開球じゃなく、矩形じゃあないか。

絶対値記号の意味を見間違えてた。
それなら、Aが(距離位相の下で)開集合であることは自明ではない。
「定義に従って」はNo.2に書いた距離位相の定義に従うの意味だとして、
Aが開球の∪で表せることを示してみよう。なんだ、それだけのことだったのか。

要するに、Aに含まれる開球を全て集めてギッシリ∪すればいい。
Aの任意の元c=(x_1)v_1+...+(x_n)v_nと
cに対して∀i,|x_i-a_i±r|<1を満たす正実数ｒの組(c,r)を
全て集めた集合をΛとすれば、A=∪[(c,r)∈Λ]N(c,r)が成り立つ。　←[1]
Aは開球N(c,r)の∪で表されたから、開集合である。

[1]を示そう。

Λの任意の元(c,r),c=(x_1)v_1+...+(x_n)v_nに対して、
N(c,r)の元y=(y_1)v_1+...+(y_n)v_nは
開球定義によりr>d(y,c)=√Σ(|y_i-x_i|^2)を満たすが、
∀i,|y_i-x_i|≦√Σ(|y_i-x_i|^2)であるから|y_i-x_i|<rである。
よって、Λの定義により|y_i-a_i|≦|y_i-x_i|+|x_i_a_i|<r+|x_i^a_i|<1
となる。これはy∈Aを示しており、つまりA⊇N(c,r)である。
これにより、A⊇∪[(c,r)∈Λ]N(c,r)が成り立つ。　←[2]

逆に、Aの任意の元x=(x_1)v_1+...+(x_n)v_nに対して、
実数の稠密性により、∀i,|x_i-a_i±r|<1を満たす正実数rは存在する。
このrについてx∈N(x,r)である。∃(c,r)∈Λ,x∈N(x,r)だから、
A⊆∪[(c,r)∈Λ]N(c,r)が成り立つ。　←[3]

[2][3]により[1]である。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/20 16:48

定義を確認してみよう。

集合Xと、Xの部分集合(たちの一部)からなる集合族Oの組(X,O)が
ある一連の公理(開集合族の定義)を満たすとき、(X,O)の組は
(または省略してXは)位相空間であるといい、Oを位相空間Xの開集合族、
Oの元をXの開集合であるという。　...というわけで、そもそも
ある集合が開集合であるか否かということは、開集合族全体から切り離して
単独で開集合の定義に照らせるような代物ではない。
Aが開集合であるか否かは、Aを開集合として持つような開集合族が
存在するか、特にそれが想定されたVの位相の開集合族であるか否か
として語られる以外に方法が無い。

そこで、Vの位相を普通の距離位相としていることが重要だ。
距離とは...　集合X上の2変数実数値関数dで、(X,d)の組がある一連の公理
(距離の定義)を満たすとき、(x,d)の組は(または省略してXは)距離空間である
といい、dを距離空間Xの距離とよぶ。
距離空間(X,d)に対し、開球N(a,r)={x|d(x,a)<r}の族{N(a,r)|a∈X,r∈R}
を開基とする位相が存在し、それをXの(距離dによる)距離位相とよぶのだった。
距離位相の存在自体が、位相論の基本的で重要な定理といえる。　←[*]

ここで「開基」という言葉が出てきた。
集合Xの部分集合(たちの一部)からなる集合族Bについて、Bから
有限個の集合の∩と任意個(無限個を含む)の集合の∪で生成される集合族Oが
位相空間(X,O)をなすとき、Bをこの位相空間の開基という。

今回の質問が、まさか[*]を証明しろという大上段の課題出ない限り、題意は
任意のa_iに対するAを集めた集合族BがVの距離位相の開基であることを示せ
ということだろう。
問題のBが[*]の開基と違うところは、開球の中心が有理点に限られていること。
だから任意の開球をBの元の∪で表して...

え？ よく見ると、有理点じゃなく、a_iは整数じゃないか。これでは開基にならない。
なんてことだ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/20 03:07

謎な質問だ。

題意が判らん。
「Aは開集合」？
ひとつのAが距離近傍であることは単に自明だし、
すべてのAがなす集合は距離位相の開集合族じゃあないしな。
Aがなす集合が距離位相の開基になるっていいたいのかな？
「定義に従って」てのは、
開集合の定義じゃなく
「通常の位相」の定義に従ってってことなんだろうな。
じゃないと、開集合であるかないかなんてのは、そもそも
定義に従ってYesとかNoとか言えることじゃないしね。