x³-(p-3)x²-3x+p-1=0が全て整数解を持つ時のpの値を求めよ 最後まで答えにたどりつけ

x³-(p-3)x²-3x+p-1=0が全て整数解を持つ時のpの値を求めよ

最後まで答えにたどりつけません。
p=3が出てこないのはどこで間違っているのでしょうか？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 回答二枚目

  
    補足日時：2019/06/21 20:33

No.2 回答者： think2nd 回答日時： 2019/06/22 01:05

あなたは、正しく解いていますから、ご自身でミスを見つけられます。

　余計な事ですが、以下の解法を参照していただけるとご自身の解と比較できますよ。
x³-(p-3)x²-3x+p-1=0　をpについて因数分解する。
　-p(x^2-1)+x^3-1+3x^2-3x=0
-p(x-1)(x+1)+(x-1)(x^2+x+1)+3x(x-1)=0
(x-1){x^2+(4-p)x-(p-1)}=0
x=1, x^2+(4-p)x-(p-1)=0…①
x=1が与式の解ですから　あなたが解いた3次方程式の解α,β,γと係数の関係式のγに1を
代入すれば整数α,βが求まります。
　2次方程式①の整数解をα,βと置くと、解と係数の関係から
　　　α+β=p-4 …②
　　 αβ=-(p-1)…③
　②と③からpを消去して
　　α+β+ αβ+3=0　を変形して
　　(α+1)(β+1)=-2
　　(α+1)も(β+1)も整数ですから±1と±2を組み合わせてα,βを求めて②に代入しても
　　　　pが求まりますよ。
　例えば
　　α+1=-2とβ+1=1　なら　α=-3,β=0ですからp=1という具合です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自らの間違いに気づき答えまで持っていくことが出来ました。

頂いた回答ですが非常に上手い回答ですね。自分は経験も思考力も乏しいので自分の煩雑な回答しか思いつきませんでした。因数分解のところですが因数定理より(x-1)で割ると考えると不定方程式は積の形にするというセオリーのもと高次方程式の因数分解といえば因数定理に繋げられるかなと自分なりに自然な発想を考えてみました。どちらにせよ貴方様のような柔軟な思考は羨ましい限りです。

お礼日時：2019/06/22 01:15

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/21 23:16

１枚目の画像の下から４行目が違っています。

ー(β+γ+2)βー（β+γ+2）γ+βγ（βγ+1）＝-3(βγ+1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分のミスに気がつくことが出来ました。
感謝致します。

お礼日時：2019/06/22 01:08