f(x)=x^4-4x^3+2ax^2が極大値を持たないようなaの値の範囲を求めよ。という問題の解き

f(x)=x^4-4x^3+2ax^2が極大値を持たないようなaの値の範囲を求めよ。という問題の解き方を教えてください。お願いします。判別式を使おうと思ったのですが微分後の関数が3次関数なので使えませんでした。3次関数の判別式の公式は使わないやり方で教えてほしいです。

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/13 19:33

意見が割れているようだけど、

a = 9/4 で f(x) のグラフを描いてみると
どうやら No.5 が正しいみたいだなあ。
No.3 がどこで間違えたか見なおしてみると...
単に計算間違いでした。

[1]を解いて 3 ≧ a ≠ 0,
[2]を解いて a < 9/4.
f(x) が極大値を持つのが、
[1]かつ[2]が成り立つときで 9/4 > a ≠ 0.

f(x) が極大値を持たないのは、
これの否定で 9/4 ≦ a または a = 0.

この回答へのお礼

はい!それで答えもあっていました!まず極大値を持つ方を考えるんですねー。回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/07/14 15:50

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/13 07:41

f'(x)=4x^3 - 12x^2+ 4ax≠０になる必要があります。

3次関数は必ずｘ軸と交差するのでx^3を消去します。a=-x^2とすると
f'(x)=- 12x^2≠０はｘ＝０以外になります。
よって、
a<0
f"(x)=12x^2-24x+4a=0
f"(x)=3x^2-6x+a=0 D=36-12a≧0　a≦３
f(x)に極値がなく変曲点のみの場合
a<0

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/07/13 11:01

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/13 01:07

まず微分すると f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a) だから f'(x) = 0 の解として必ず x = 0 が存在する. んで x → ±∞ で f(x) → +∞ もわかるから, f(x) が極大値を持たないという条件は f'(x) = 0 が「『3つの異なる実数解』を持たない」という条件と同値になる. つまり 2次方程式 x^2 - 3x + a = 0 が

・実数解を持たない
・重解を持つ
・x = 0 を解に持つ
のいずれか.

上の 2つは 2次方程式の判別式を使って 3^2 - 4・1・a ≦ 0 より a ≧ 9/4. 下の条件はもちろん a = 0.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！まずは条件を考えるんですね。

お礼日時：2019/07/13 11:01

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/12 23:59

四次関数f(x)は、

f(x)=x^4 - 4x^3 + 2ax^2
=x^2(x^2 - 4x^3 + 2a)

になるので、x=0が解の一つになります。

あとは、x^2 - 4x^3 + 2a=0としたときの判別式Dが、D<0（実数解を持たない）であればx≠0で極値は持たないことになります。

D=16-4×1×2a<0
16-8a<0
8a>16
a>2

ゆえに、a>2

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/07/13 10:51

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/12 23:18

f(x) = x^4-4x^3+2ax^2 が極大値を持つ ⇔ f’(x) が3個の実数解を持つ.

⇔ f’(x) が極大値と極小値を持ち、極大値が正、極小値が負.

f’(x) が極値をとる x は f’’(x) = 12x^2-24x+4a = 0 の解で、
それは a ≦ 3 のときに存在し x = 1±√(1-a/3)。 この x に対し、
f’(x) = 4x^3-12x^2+4ax = f’’(x)・(x-1)/3 + ((2/3)a-2)x + a/3 より
f’(x) の極大値 = f’(1-√(1-a/3)) = ((2/3)a-2)(1-√(1-a/3)) + a/3 > 0,　←[1]
f’(x) の極小値 = f’(1+√(1-a/3)) = ((2/3)a-2)(1+√(1-a/3)) + a/3 < 0.　←[2]

[1][2]を解いて、√(1-a/3) > |(3-2a)/(3-a)|.
両辺を二乗して整理すれば、a(a^2 +3a - 9) < 0.
すなわち、a < (3/2)(-1-√5) または 0 < a < (3/2)(-1+√5).　←[3]
これと先の条件 a ≦ 3 を合わせても、[3]は変わらない。
よって、[3]が求める a の範囲である。

f’(x) の極値を考えることで混乱するようなら、g(x) = f’(x) とでも置き換えてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！丁寧な説明ありがとうございます

お礼日時：2019/07/13 10:52

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/12 23:17

No.1 です。

ああ、途中で終わってしまった。

x=0 が「極大」でないにしても、
　x^2 - 3x + a = 0　　　①
になったら元も子もありませんね。

ということで、①が実数解を持たない
　D = (-3)^2 - 4a < 0
→　9/4 < a

という条件も必要。

両方の共通範囲で
　9/4 < a

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/12 23:10

f(x) の導関数は

　f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)

これだと、a の値に係わらず x=0 で f'(0)=0 になります。

これが「極大」にならないためには、x=0 が「極小」または「変曲点」であればよいわけです。

「極小」または「変曲点」であるためには f''(0) ≧ 0 であればよいわけで
　f''(x) = 12x^2 - 24x + 4a
より
　f''(0) = 4a ≧0
よって
　a≧0

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！質問なのですが、極小または変曲点であるためにはf'(x)>=0となればいいのですか？また 、この関係はどんな場合でも成り立ちますか？

お礼日時：2019/07/13 10:39