電磁気学

写真のような円錐導体にVなる電圧を与えました。平面導体の電位を0とし、円錐の先端は丸くなっており平面とは離れているものとし、この先端近くの特異な電界については考えなくてもよいとしたときの空間の電位の求め方を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 球座標を利用してdivEやrotEを求めるそうです。

    補足日時：2019/07/29 22:43

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/24 20:55

＞この先端近くの特異な電界については考えなくてもよいとしたとき

では、いったいどこに電界がありますか？

たとえば、「円錐」が下の「平板」と同じ面積で、平行に置かれていたらどうなりますか？
そのときの「空間の電位」はどうなりますか？

No.2 回答者： seiji91 回答日時： 2019/07/25 23:40

円錐先端は丸い　→　特異点は無い

先端近くの磁界は無視　→　大雑把にアンテナで考えりゃいい？

アンテナっぽく考えて、
平行平板コンデンサの片側をグリっと折り曲げて円錐にしたと考えれば、何となく電界が見えてくる。
それだけじゃだめ？
定量的には・・・
円錐の軸周りに等方的なので２次元の等角写像（コンフォーマルマッピング）で円錐を平面に変換すれば計算できるんじゃないかと思うけど。
こういう計算最後にやったの１０年位前だから自信ないわ。

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/01 01:03

扁長回転楕円面座標を使う。

cは定数。x，y，zの代わりに、u，v，φを使う。
u，v，φを指定すると、x，y，zは次の①②③式で定まる。
x=c sinh u cos v cosφ＿＿①
y=c sinh u cos v sinφ＿＿②
z=c cosh u sin v＿＿③
z軸の周りに回転対称だから、回転半径をrとすると
r=√(x²+y²)=c sinh u cos v＿＿④
③④から⑤⑥となる。
z²/c²sin²v = cosh²u＿＿⑤
r²/c²cos²v = sinh²u＿＿⑥
⑤から⑥を引くと、cosh²u －sinh²u=1だから、⑦が成立する。
z²/c²sin²v－r²/c²cos²v =1＿⑦
⑦は図の双曲線を示す。
双曲線の焦点は、すべての双曲線に共通で(0，±c)である。
双曲線の漸近線は⑧となる。
z =±r tan v＿⑧
③④から⑨⑩となる。
z²/c²cosh²u = sin²v＿＿⑨
r²/c²sinh²u = cos²v＿＿⑩
⑨と⑩をたすと、sin²v+ cos²v=1だから、⑪が成立する。
z²/ c²cosh²u+r²/c²sinh²u =1＿⑪
⑪は図の楕円を示す。たてが長径でc cosh u、横が短径でc sinh uである。
楕円の焦点は、すべての楕円に共通で(0，±c)である。
①②③から微分線素を求める。
dx=c cosh u cos v cosφdu +c sinh u sin v cosφdv－c sinh u cos v sinφdφ＿⑫
dy=c cosh u cos v sinφdu +c sinh u sin v sinφdv + c sinh u cos v cosφdφ＿⑬
dz= c sinh u sin v du－c cosh u cos v dv＿⑭
ds=(dx，dy，dz)
=(c cosh u cos v cosφ，c cosh u cos v sinφ，c sinh u sin v)du
+(c sinh u sin v cosφ，c sinh u sin v sinφ，－c cosh u cos v)dv
+(－c sinh u cos v sinφ，c sinh u cos v cosφ，0)dφ＿⑮co
ds²= c²[{ cosh²u cos²v + sinh²u sin²v }du²+0dudv+0dudφ
　　 +0dudv+ {sinh²u sin²v+ cosh²u cos²v} dv²+0dvdφ
　　 +0dudφ++0dvdφ+ sinh²u cos²v dφ²]
　 = c²{( cosh²u cos²v + sinh²u sin²v)(du²+dv²)+sinh²u cos²v dφ²}＿⑯
dudv、dudφ、dvdφの項が0であることは、u，v，φが一定の曲線が直交することを示す。
v=一定は等電位線を表す。u=一定は電気力線を表す。
図の太線の双曲線を電極とし、v=θとすると、式⑦は
z²/c²sin²θ－r²/c²cos²θ=1＿⑦　z²=c²sin²θ+r²tan²θ
z¬¬=√(c²sin²θ+r²tan²θ)＿⑰となる。rが十分大きいとき、⑰は双曲線の漸近線となり
z¬¬≒r tanθ＿⑱となる。これは、電極形状がほぼ円錐になることを示す。
円錐の母線の傾きはtanθである。
電極の下端の位置をz=dとすると、⑦でr=0としてd=z=c sinθ＿⑲となる。dとθからcが定まる。
c=d/sinθ＿⑳
式⑦でθ=0とすると、z=0となり、下側の電極が、平面であることを表す。
式③④でu=0とすると、r=0とz=c sin vとなる。z軸を中心とする微小半径の電気力線のパイプを考え、式④のuにduを入れると、微小半径rは㉑になる。
r=c sinh du cos v =c du cos v=c du √(1－sin²v)＿㉑
式③でu=0とするとz=c sin v＿㉒
㉒から、sin v=z/c、これを㉑に入れると
r= c du √(1－(z/c)²)= du√(c²－z²)＿㉓
この電気力線のパイプの断面積Sは
S=πr²=πdu²(c²－z²)＿㉔
z=0のとき、S＝πc²du²で、この電界をE、電束密度をD、誘電率をε、電束φをとすると、
φはzの位置で変わらない。D=εE、φ=DS＝εE･πdu²(c²－z²)。
E=φ/εE･πdu²(c²－z²)＿㉕
Eをzで積分すると電位になるので、
V=∫Edz=φ/επdu²∫1/(c²－z²)dz＿㉖
1/(c²－z²)=(1/2c)(1/(c－z)+1/(c+z)) =(1/2c)(－1/(z－c)+1/(c+z))
∫1/(c²－z²)dz=∫(1/2c)(－1/(z－c)+1/(c+z))dz=(1/2c)(log(c+z)－log|z－c|)
V=∫Edz=φ/επdu²∫1/(c²－z²)dz=φ/επdu²(1/2c)(log(c+z)－log|z－c|)＿㉗
z=0～dまで積分すると、電位はV0になるので
V0=φ/επdu²(1/2c)(log(c+ d)－log|d－c |)
　=φ/επdu²(1/2c)log{(c+ d)/(c－d) )＿㉘
㉗を㉘で割り、d=z=c sinθ＿⑲を使うと㉙となる。
V/V0＝(log(c+z)－log|z－c|)/ log{(c+ d)/(c－d))
＝(log(c+z)－log|z－c|)/ log{(sinθ+1)/(1－sinθ)}＿㉙
さらにz=c sin v＿㉒を使うと
V=V0 log{(sin v +1)/(1－sin v)}/log{(sinθ+1)/(1－sinθ)}＿㉚
この式により、v=一定なら、V=一定である事がわかった。つまり、v=一定の線は等高線である。
v=0のとき、V=0になる。v＝θのときV=V0になる。
d→0の極限を使って近似すればもっと簡単な解が得られるのかも知れない。
球座標は扁長回転楕円面座標を簡単化したものだから、球座標を使う方法がいいのかも知れないが、先端近くの特異な電界は考えなくてもよいというのがあいまいな条件なので、つかみにくい。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/01 08:12

球座標を使って、No.3投稿と同じ方法でやってみる。

x，y，zの代わりに、r，θ，φを使う。θは仰角を使う。
u，v，φを指定すると、x，y，zは次の①②③式で定まる。
x= r cosθcosφ＿＿①
y= r cosθsinφ＿＿②
z= r sinθ＿＿③
z軸の周りに回転対称だから、回転半径をρとすると
ρ=√(x²+y²)=r cosθ＿＿④
θ=一定は等電位線を表す。z=ρtanθ＿⑤
ρ²+z²=r²=一定＿⑥は電気力線を表す。
図の太線の直線を電極とし、θ=θ₀＿⑦とする。
z=ρtanθ₀＿⑧となる。電極の円錐の母線の傾きはtanθ₀である。
式⑤でθ=0とすると、z=0となり、下側の電極が、平面であることを表す。
式③④で、rを固定すると、電気力線になる。電気力線に垂直な幅drの微小断面を考え、これをz軸の周りに一周させると、円形の帯になり、その面積はS=2πρdrである。この円形の帯を突き抜ける電気力線の総量は、zによらず一定になる。電界をE、電束密度をD、誘電率をεとすると、D＝εEとなり、電束Φは
Φ＝DS＝εE2πρdr＿⑨
⑥からρ＝√(r²－z²)となる。これを⑨に入れると
Φ＝εE2π√(r²－z²)dr＿⑩
電界E=Φ/2πεdr√(r²－z²)＿⑪
これを0～zまで積分すると電位Vになる。
V=∫Edz=∫Edz=(Φ/2πεdr)∫1/√(r²－z²)dz＿⑫
∫1/√(r²－z²)dzの積分は、z=r sin t と置くと、dz=r cos t dtとなり置換積分して
∫1/√(r²－z²)dz=∫(1/ r cos t) r cos t dt=∫dt=t=arcsin(z/r)＿⑬となる。これを⑫に入れると
V= (Φ/2πεdr) Arcsin(z/r)＿⑭
電気力線はz= r sinθ₀で、上側電極に達するので、VはV₀になり、⑭は⑮となる。
V₀= (Φ/2πεdr) Arcsin((r sinθ₀)/r)= (Φ/2πεdr)θ₀＿⑮
⑭を⑮で割ると
V/V₀=Arcsin(z/r)/θ₀
V=(V₀/θ₀) Arcsin(z/r)＿⑯
③を⑯に入れると
V=(V₀/θ₀)θ＿⑰
となる。この式により、θ=一定なら、V=一定である事がわかった。
つまり、θ=一定の線は等電位線である。式⑤で使った仮定は正しかった。
⑰により空間の電位が求められた。
No.2投稿では、先端近くの特異な電界の影響で、電気力線が細長い楕円になったが、その影響が無くすると、電気力線が円になることがわかっていなかった。