合成関数の微分について αがtの関数であるとき、写真の値はどうなるのでしょうか。導出方法を含めてご教

合成関数の微分について
αがtの関数であるとき、写真の値はどうなるのでしょうか。導出方法を含めてご教示ください。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/27 10:23

この問題についてもう少し一般的に考えます。

つまり
f(u)をuの連続関数としてu＝x-tとの合成関数f(x-t)を考え
それを問題の式の(x-t)²と置き変えた
d/dt∫[α→t]f(x-t)dxについて考える。
No.3　で指摘したようにf(u)の原始関数をF(u)とすれば
xの関数としてのf(x-t)の原始関数はF(x-t)なので
∫[α→t]f(x-t)dx＝F(t-t)-F(α-t)＝F(0)-F(α-t)になる。
これをtで微分すると合成関数の微分法より
d/dt(F(0)-F(α-t))＝-F’(α-t)(α-t)’＝-f(α-t)(dα/dt-1)
つまり
d/dt∫[α→t]f(x-t)dx＝-f(α-t)(dα/dt-1)
になる。
今の問題の場合、f(u)＝u²なので
d/dt∫[α→t](x-t)²dx＝-(x-t)²(dα/dt-1)　と
すでに回答されている結論になります。
まとめると
f(u)がuの連続関数ならば
d/dt∫[α→t]f(x-t)dx＝-f(α-t)(dα/dt-1)＝f(α-t)(1-dα/dt)
特にαが定数ならば　＝f(α-t)
となります。
このほうが問題の本質がわかりよいと思います。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/26 11:26

f(ｕ)の原始関数をＦ(ｕ)としたとき

f(ｕ)と一次関数ｕ＝ａｘ＋ｂの合成関数f(ａｘ＋ｂ)の原始関数が
(1/a)Ｆ(ａｘ＋ｂ)になることは覚えておく必要あり。
それをつかって、No.1、2さんのような解答になります。
高校レベルならこんな感じでしょう。
なお大学レベルになりますが、
高木、解析概論第4章48節、連続的変数に関する一様収束、
　　　　　　　　　　　　　　　積分記号下での微分積分
の後半にこのような問題のより一般的な公式があるので参照してみてください。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/25 21:34

まず、積分するところまでは、αがtの関数であるかどうかは関係がありません。

∫[α,t](x-t)^2 dx = [ (1/3)(x-t)^3 ]_(α,t) = -(1/3)(α-t)^3 です。
あとは、合成関数の微分を使って、
(d/t)∫[α,t](x-t)^2 dx = (d/dt)(-1/3)(α-t)^3 = (-1/3)・3(α-t)^2・(d/dt)(α-t)
= -(α-t)^2・(dα/dt - 1).

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/25 18:11

まず、被積分関数からtを追い出す。

多分そっちの方が楽。(別にそのまま計算してもよい)

u=x-tと置くと

d/dt{∫[x:α→t](x-t)^2 dx}=d/dt{∫[u:a-t→0] u^2 du}=d/dt {0-(1/3)(a-t)^3}

この後の微分はさほど難しくないでしょう。

このぐらいの計算なら原始関数をF(x)とおいて、とかしなくてもそのまま計算した方が楽だと思う。

もちろん(x-t)^2のxに対しての原始関数をF(x)を置き、
dF(t)/dt -dF(α)/dt=(t-t)^2-dF(α)/dα*dα/dt=-(α-t)^2*dα/dt
と計算してもOK。αが含まれる項にdα/dtがかかってきます。