画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？ 実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式か

画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？
実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式からお互いに違う式なので、同じ式という意味がわかりません。
違う式ならば、dθの値の符号やθの範囲で使い分ければよいので納得できます。値が違うので。

質問者からの補足コメント

• 画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？
  実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式からお互いに違う式なので、同じ式という意味がわかりません。
  違う式ならば、dθの値の符号やθの範囲で使い分ければよいので納得できます。値が違うので。
  
  また、 dθに符号が付かない場合、すなわちdθ→0の極限での時、同じ式になるそうですが、5-(0.0001)や5+(0.0001)を考えると違う値になるのですが、違う値を導くのになぜ同じ式なのかわかりません。

    補足日時：2019/07/29 21:48

• 1枚目です

  
    補足日時：2019/07/29 23:27

• 2枚目です

  
    補足日時：2019/07/29 23:27

• 二つの場合で調べて下さりありがとうございます。
  やはり完全に同じ値にはならないので、お互いに異なる式ですね。
  それとも、微分では、このようにほぼ完全に値が一致すれば同じ式のように扱えるのでしょうか？
  どうかよろしくおねがいします。

    補足日時：2019/07/30 02:15

• dθ→0の場合の微分の定義の式は同じになるのでしょうか？
  ってことは値も等しくなると思いますが。

    補足日時：2019/07/30 08:48

• tknataさん、最後にお聞きしたいのですが、
  Aの2つの式の dθ→0とした場合の２つの式の値は完全に一致するのでしょうか？
  多分完全には一致しないと思いますが。
  どうかよろしくおねがいします。

    補足日時：2019/07/30 14:22

• 一部の例外を除いてありませんとのことですが、その一部はなんですか？

    補足日時：2019/08/02 19:29

• やっぱりほぼ一致でしまた！

    補足日時：2019/08/06 21:03

No.15 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/07 09:59

下記の問題の答えを出して見て下さい。

次の1から6の式について、左辺と右辺は等しいでしょうか。
ABCの三択で答えて下さい。A：等しい。B：ほぼ等しい、C：等しくない。
1、1+1=2
2、x+2=x+2
3、2－3=3－2
4、|2－3|=|3－2|
5、1/x=3/x
6、lim[x→∞](1/x)=lim[x→∞](3/x)

解答は、1A、2A、3C、4A、5C、6A　です。
3と4は、3Cが、絶対値記号を付けたので、４Aになる。
5と6は、5Cが、極限をとる記号を付けたので、6Aになる。

B：ほぼ等しい、はどれにも選ばれません。

同じ1から6の式について、
左辺と右辺は同じ式でしょうか、異なる式でしょうか。
次のABCの三択で答えて下さい。A：同じ。B：ほぼ同じ。C：異なる。
解答は、2Aのほかは、すべてC　です。

この問題の答えが合わない人とは数学の認識が違うので、議論が成立しない。
質問者さんとは、過去に別の問題で、6回連続で間違った質問をされて、理解されなかったことがありました。一般の数学の定義を理解せず、なかなか認めようとしない。
質問者さんはまだ、「ほぼ等しい」と主張している。

この回答へのお礼

いいえ、やっと理解できました。
変数の式がすべて同じであるため、値が近いとしても完全に同じとなるとわかりました。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2019/08/07 15:28

No.14 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/07 01:14

やっぱりほぼ一致でしまた！>

ほぼ一致ではなくて完全一致です。「ほぼ」を付けるのは間違っています。
lim[dθ→0]の記号は、dθ＝０に飛び越えて極限を求めよという記号です。
「ほぼ」が付くと思う人は極限に飛び越えていないから「ほぼ」が付くと考えるのです。

No.13 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/06 20:15

この質問2019/07/29 21:43の問題点は質問2019/07/29 16:48と同じです。

質問者のコメントに「5-(0.0001)や5+(0.0001)を考えると違う値になる」と書いてあるので、これに近い見やすい例を作って、極限のイメージを図で説明する。
ある数列anがあって、その極限は
lim[n→∞] an=0である。lim[n→∞] (3+an)とlim[n→∞] (3－an)の二つの極限を考えると違う値になるかどうかを調べる。
二つの数列が極限値に近づく様子をグラフにした。n→∞にしたとき、グラフ上の点が、グラフからはみ出して見えなくなるのを防ぐため、適当な数列xn を使ってx座標とした。
x1=1、x2=3.5、･･･。xnを等間隔にすると、すぐグラフからはみ出して見えなくなるので、簡単な規則で、x=6で止まるようにした。
xnのn→∞の極限値は6、lim[n→∞]xn=6である。
lim[n→∞] (3+an)の数列は上の放物線の上に赤丸で示され、
lim[n→∞] (3－an) の数列は下の放物線の上に青丸で示されている。これらの点は、右の大きい赤丸に近づいて行く。
小さい赤丸と青丸の列は、n=1から始まり、n=2，3，4，･･･，10まで続き、その先はn=100，1000，十万の位置が示されている。大きい赤丸はn→∞の極限=3の位置にある。
lim[n→∞] (3+an)とlim[n→∞] (3－an)の極限値は違う値になるだろうか。
実際に値を代入すると異なる値になることは、n=1から10までの点を見ると、赤丸はすべてy=3の線より上にあり、青丸はすべてy=3の線より下にあるので、全然別の数列です。
その先も、nを100、1000．十万と増加すれば、無限個の赤丸、青丸があります。
しかし、極限とは、それらの点列をすべて飛び越えた大きい赤丸のことをいうのです。
グラフを見ると、赤丸の列も、青丸の列も大きい赤丸に向かって進むので、その列をすべて飛び越えた大きい赤丸が極限値で、
lim[n→∞] (3+an)=3、lim[n→∞] (3－an)=3となる。limという記号は、すベて
を飛び越えて、その先をもとめよという意味を含んでいる。
3=3だからlim[n→∞](3+an)=lim[n→∞](3－an)=3となる。
この結果を見た上で、質問者のコメントにある「5-(0.0001)や5+(0.0001)を考えると違う値になる」を検討する。lim[dθ→0](5－dθ)とlim[dθ→0](5+dθ)が等しいかどうかを見るために、dθ=1/10^nとして、n→∞の極限を取れば、dθ→0の極限が計算できる。
lim[n→∞](5－1/10^n)について、n=1，2，3，4の数値を計算すると、
(5－1/10^n)の値は、4.9，4.99，4.999，4.9999，･･･という数列ができる。
この数列は、5に無限に近付くが、この数列の中に5が現れるわけではない。
極限値とは点点々･･･と現れるすべてを飛び越えて、その先にある5が極限値である。
(5－1/10^n)の式のnにいくつを代入しても極限値は求められない。飛び越えるためには (5－dθ)の式にdθ=0を入れて、
lim[dθ→0](5－dθ)= (5－0)=5が極限値である。極限の記号limは、途中の数列は飛び越えて極限を求めよという記号である。
次に、lim[n→∞](5+1/10^n)について、n=1，2，3，4の数値を計算すると、
(5+1/10^n)の値は、5.1，5.01，5.001，5.0001，･･･という数列ができる。
この数列は、5に無限に近付くが、この数列の中に5が現れるわけではない。
極限値とは点点々･･･と現れるすべてを飛び越えて、その先にある5が極限値である。
(5+1/10^n)の式のnにいくつを入れても極限値は求められない。飛び越えるためには (5+dθ)の式にdθ=0を入れて、
lim[dθ→0](5+dθ)= (5+0)=5が極限値である。
両方は同じだから5=5であり、
lim[dθ→0](5－dθ)=lim[dθ→0](5+dθ)である。
質問文の中に「実際に値を代入すると異なる値になる」という文があるが、
あなたはL=lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)－cosθ}/dθの式のdθにどんな値を代入したのですか。
dθ=1/10^nを入れたなら、それは途中の数列が出るだけで、極限値が出るわけではない。
「実際に値を代入すると異なる値になる」と言っても、それは途中の数列の数字が異なるだけで、
飛び越えないで議論するのはムダである。
飛び越えた先の極限値が異なるわけではない。
しかし、微分の計算をするときは、飛び越えた先の極限値を計算するのに
いきなり、dθ=0を代入することはできない。それは0/0の不定形になってしまう。
微分の計算式L=lim[h→0]{f(x+h)－f(x)}/hは、h=0を代入すると0/0になってしまう式なので
h≠0の式から計算できる極限という方法を使うのです。
L=lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)－cosθ}/dθを計算するには、いきなりdθ=0を代入すると、L=0/0になるので、まず、cosの差をsinの積に変える次の公式を使う。
cosA－cosB=－2 sin((A+B)/2) sin((A－B)/2)
これをLの式に使ってA=θ+dθ、B=θとすると、
cos(θ+dθ)－cosθ=－2 sin(θ+ dθ/2) sin(dθ/2)となる。
これをLの式に入れると
L=lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)－cosθ}/dθ
=lim[dθ→+0]{－2 sin(θ+ dθ/2) sin(dθ/2)}/dθ
=lim[dθ→+0]{－sin(θ+ dθ/2)}{sin(dθ/2)/(dθ/2)}
この式の後ろの{ }括弧内のsin(dθ/2)/(dθ/2)は、dθ→+0とした時、その極限が1になる。
lim[dθ→+0]{sin(dθ/2)/(dθ/2)}=1、dθ→－0の極限も
　 lim[dθ→－0]{sin(dθ/2)/(dθ/2)} =1
ゆえにL= lim[dθ→+0]{－sin(θ+ dθ/2)}=－sinθ
この極限の求め方を、あなたが知らないのか、知っていても怠慢で計算してないのか、解らないが、極限値を計算して見れば、LとL’は同じ結果、極限値=－sinθが確認できる。
cosθを微分するには、次の公式は知っていないとできない。
lim[dθ→+0]{sin(dθ/2)/(dθ/2)}=1、 lim[dθ→－0]{sin(dθ/2)/(dθ/2)} =1

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/02 21:14

＞これって式の+ dθと- dθが dθ→0により、

＞+ dθは+0.0000001
＞- dθは-0.0000001になるわけですか？

そうじゃない、dθ→0 ってのは極限をとることで、
dθに何か小さい値を代入することとは全く違う
ってことを、No.8〜10 の人が延々説明していたのにな。

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/02 20:34

＞一部の例外を除いてありませんとのことですが、その一部はなんですか？

それ、No.2 に書いたんだけどな。
lim[dθ→+0]{f(θ+dθ) - f(θ)}/{(θ+dθ)-θ} と
lim[dθ→+0]{f(θ-dθ) - f(θ)}/{(θ-dθ)-θ} が
両方収束して一致するときというのは、
f(x) が x=θ で微分可能なときですよ。

もう少し一般に、
lim[dθ→+0]g(dθ) と
lim[dθ→-0]g(dθ) が
両方収束して一致するときというのは、
g(x) が x=0 で連続なときです。

lim[dθ→+0]{f(θ+dθ) - f(θ)}/{(θ+dθ)-θ} と
lim[dθ→+0]{f(θ-dθ) - f(θ)}/{(θ-dθ)-θ} が
同じ式だったら、一致することは自明なわけで、
同じ式ではないから、両式を比べることが
微分可能か否かの判定になり得るんです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
これって式の+ dθと- dθが dθ→0により、
+ dθは+0.0000001
- dθは-0.0000001になるわけですか？

お礼日時：2019/08/02 20:37

No.10 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/02 15:53

#9です。

>その数学的操作をすればちゃんと値が完全に一致できることを証明できるの

できます。
ただし、あなたには理解できません。なぜなら極限の定義が全く分かっていないから。

この回答へのお礼

わかりました。

お礼日時：2019/08/02 15:54

No.9 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/01 18:05

#8です。

>ありがとうございます。
やはり小さい値でも完全な一致はしないのですね！
ですが、それ(完全に一致しないがほぼ同じ値になること)を兼ねて微分というのでしょうか？

あのね。なに言っているの?
極限というのは数値を入れたものではないといっているだろう。何を読めばそんな読み方するの。
あなたは算数だけやっていなさい。

質問者が出した二つの式の値は完全に一致します。(両方とも-sinθになります)
極限とは式に値を入れたものではない。数値を入れたものが違う→極限とはほぼ一致の近似である、などとあなたが勝手に思っている妄想にすぎません。
もちろん、これは厳密に定義できる数学的操作(ε-δ論法)によって証明可能なのですが、あなたには理解できないでしょうから説明しません。

この回答へのお礼

その数学的操作をすればちゃんと値が完全に一致できることを証明できるのですか？

お礼日時：2019/08/02 14:30

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/31 13:16

どうやらあなたは

lim[δθ→0] {cos(θ+δθ)-cosθ}/{(θ+δθ)-θ}
とはδθに小さな値を入れたもの、と勘違いしているようです。

それ自体が間違いです。

これはδθに何か適当な値を入れたものではないのです。δθに0を入れたものですらない。(δθ=0で式が定義されていませんが)
δθに徐々に小さい値を入れていった時に近づいていく値を表します。
確かにδθに極端に小さな値を入れたものはこの極限値に近い値になりますが、それそのものになるとは限りません。
というよりもほとんどの場合、極限値とは近いが異なる値になります。

つまり、δθに+0.001や-0.001を入れても一致するとは限りません。(というよりも一致しない方が多い)
δθに+0.001→+0.0001→+0.00001としていった時の極限の値がδθ→+0の極限値ですし、
δθに-0.001→-0.0001→-0.00001としていった時の極限の値がδθ→-0の極限値です。
また、これらの数値を代入した値が極限値と一致する、ということは一部の例外を除きありません。

δθ→0の極限とはδθに何かの数値を入れた値、というわけではないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり小さい値でも完全な一致はしないのですね！
ですが、それ(完全に一致しないがほぼ同じ値になること)を兼ねて微分というのでしょうか？

お礼日時：2019/08/01 17:21

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 09:18

なんか「同じ式」があなたの頭の中で暴走してるっぽい。

同じ a+b という式が2個あっても
それぞれbに別の値を入れたら、式の「計算結果」は異なる。

a+bとa-bという式は見かけ上異なるけど
左の式ではb=1、右の式ではb=-1
ということなら同じ式になる。

あなたのやっていることは
これだけのつまらないことなんだけど
恐らく全然理解も整理もできて無いのでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、わかりやすいです。

お礼日時：2019/07/30 14:19

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 08:31

過程の式？？？？