この問題どなたか解説してくださいませんか？

Question

syotao · Accepted Answer

（3）
記号が錯綜して読みづらくなるので、方針だけ...。
Σ(k=0→n-1)r^kは＝1＋Σ(k=1→n-1)r^k　とわける。
a(n)=Σ(k＝1→n)√k*r^n-kは＝Σ(k＝1→n-1)√k*r^n-k＋√n　とわける。
すると
Σ(k=0→n-1)r^k-a(n)/√n＝Σ(k=1→n-1)r^k－Σ(k＝1→n-1)√(k/n)*r^n-k
ｋ/n≦1なので√(k/n)≧k/n　これをつかうと
Σ(k=1→n-1)r^k－Σ(k＝1→n-1)√(k/n)*r^n-k
≦Σ(k=1→n-1)r^k－Σ(k＝1→n-1)(k/n)*r^n-k＝1/n*Σ(k=1→n-1)k*r^k
となって（3）の不等式の右の≦が出てくる。
で極限値の方だけど、
Σ(k=1→n-1)k*r^kは公式があって
(1-ｒ)*Σ(k=1→n-1)k*r^k＝Σ(k=1→n-1)r^k＋(n-1)r^n　になる。
これと0＜ｒ＜1からｎ→∞のとき
1/n*Σ(k=1→n-1)k*r^k→0だから
a(n)/√nは（3）の不等式からはさみうちの原理によりｒ/(1-ｒ)に収束する
ゆえに（1）の結果から
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)＝(r²-r-1)/r

syotao · Answer

ひとつききたいんだけど
あなたの（3）の文章中の√bってなんのこと？

tekcycle · Answer

考えなければならないこと。
ぱっと見、何のことやら判らない、とちゃんと感じること。これ大事。
ぱっと見で判らない物だ、くらい判断できる程度には勉強してないとダメ、ということでもある。
出題者は、ぱっと見で全く見当が付かない問題を出題しているということ。
それを、何とかの解法がぁという考え方では、手も足も出ない、そういう連中を叩き落とすように意図している。
だから、鶏ガラや豚骨を一生懸命囓っているようでは、こういう問題が解けない。
それを言い換えたのが、「偏差値60の壁」です。
何とかの解法を覚えただけ、解法が解法が、だと、この手の問題はもう解けない、難関大学は無理、ということ。ここは明確に分かれる。鶏ガラや豚骨を囓るのをやめるのかどうか、どこに受かりたいのか、きちんと決めよう。東京理科大の工学部理工学部志望です、なら、余程難易度の高いところでも無い限り、この手の問題を解く必要は無い。
出ないし出ても解けなくて良い、卒業生も大概解けない。

何だか判らないので、悪あがきをしなければならない。
どうするか。
具体的に数値を当てはめてみる。あなたが言ったこと。様子を見てみる。
勿論『　Σ　は　バ　ラ　す　』。
ｎ＝１
ａ₁＝(√１)(ｒ⁰)
＝1

ｎ＝２
ａ₂＝(√１)(ｒ¹)＋(√２)(ｒ⁰)
＝ｒ＋√２

ｎ＝３
ａ₂＝(√１)(ｒ²)＋(√２)(ｒ¹)＋(√３)(ｒ⁰)
＝ｒ²＋(√２)ｒ＋√３

まぁそんな感じで、誘導に乗ってみるか。
(1)
aₙ₊₁＝(√１)ｒⁿ＋(√２)ｒⁿ⁻¹＋(√３)ｒⁿ⁻²＋・・・・＋(√ｎ)ｒ¹＋{√(ｎ＋１)}ｒ⁰
aₙ＝(√１)ｒⁿ⁻¹＋(√２)ｒⁿ⁻²＋(√３)ｒⁿ⁻³＋・・・・＋{√(ｎ－１)}ｒ¹＋{√(ｎ)}ｒ⁰
ｒaₙ＝(√１)ｒⁿ＋(√２)ｒⁿ⁻¹＋(√３)ｒⁿ⁻²＋・・・・＋{√(ｎ－１)}ｒ²＋{√(ｎ)}ｒ¹
とちゃんと「書き出してみる」。
aₙ₊₁－ｒaₙ＝(√１)ｒⁿ－(√１)ｒⁿ＋(√２)ｒⁿ⁻¹－(√２)ｒⁿ⁻¹＋(√３)ｒⁿ⁻²－(√３)ｒⁿ⁻²＋・・・・＋(√ｎ)ｒ¹－{√(ｎ)}ｒ¹＋{√(ｎ＋１)}ｒ⁰
＝√(ｎ＋１)

(2)は忘れたんで色々カンニング。また、何かと端折ってる。
ｒⁿ＞１＋ｎｈ
１／ｒⁿ＜(√ｎ)／ｒⁿ＜(√ｎ)／(１＋ｎｈ)＝{１／(√ｎ)}　／　{１／ｎ＋ｈ}
ｎを無限大にすると、{０}　／　{０＋ｈ}＝０、１／ｒⁿ＝０
０＜(√ｎ)／ｒⁿ＜０
lim(√ｎ)／ｒⁿ＝０
もっとすんなりできるのかもしれないけど忘れた。

aₙ₊₁＝(√１)ｒⁿ＋(√２)ｒⁿ⁻¹＋(√３)ｒⁿ⁻²＋・・・・＋(√ｎ)ｒ¹＋{√(ｎ＋１)}ｒ⁰
と
ｒaₙ＝(√１)ｒⁿ＋(√２)ｒⁿ⁻¹＋(√３)ｒⁿ⁻²＋・・・・＋{√(ｎ－１)}ｒ²＋{√(ｎ)}ｒ¹
を考える。
aₙ₊₁－ｒaₙ＝√(ｎ＋１)
aₙ₊₁＝√(ｎ＋１)＋ｒaₙ

aₙ₊₁／aₙ＝{√(ｎ＋１)＋ｒaₙ}／aₙ
＝{√(ｎ＋１)}／aₙ＋ｒ

ｎ・ｒⁿ⁻¹＞aₙ＞ｒⁿ⁻¹
{√(ｎ＋１)}／{ｎ・ｒⁿ⁻¹}＜{√(ｎ＋１)}／aₙ＜{√(ｎ＋１)}／ｒⁿ⁻¹
lim{√(ｎ＋１)}／{ｎ・ｒⁿ⁻¹}＝lim{√(１／ｎ＋１／ｎ²)}／{ｒⁿ⁻¹}＝０
lim{√(ｎ＋１)}／ｒⁿ⁻¹＝lim{ｒ√(ｎ＋１)}／ｒⁿ＞lim{ｒ√(ｎ＋１)}／(１＋ｎｈ)
lim{ｒ√(ｎ＋１)}／(１＋ｎｈ)＝lim{ｒ√(１／ｎ＋１／ｎ²)}／(１／ｎ＋ｈ)＝０
端折ってるけど。

０＜lim{√(ｎ＋１)}／aₙ＜０
lim{aₙ₊₁／aₙ}＝ｒ

違ってるかもしれないけれど、参考にはなるでしょう。
(3)はもうヤダ。
昔はもうちょっとスラスラできたんだろうけれど、もうすっかり忘れてるな。

で、こんな写真を三枚載せれば良いの。
画像編集はスマホでできるならスマホ側で済ませれば良い。サイトでの圧縮が酷い結果を生むんで、スマホで余白を切ったり分割したりする分には、おそらくそれほど害は無いでしょう。

tekcycle · Answer

ここに問題文の画像をアップした時は、必ず自分で自分の質問を見て、画像が見える物かどうかを確認しなければなりません。
アップする際に、サイト側で勝手に画像の圧縮をかけますので。

この問題どなたか解説してくださいませんか？

（3）

ひとつききたいんだけど

考えなければならないこと。

ここに問題文の画像をアップした時は、必ず自分で自分の質問を見て、画像が見える物かどうかを確認しなければなりません。

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