kを実数とする。xy平面上に、 円C:x^2+y^2-6x+2y+k=0 直線l:y=3x があり、

kを実数とする。xy平面上に、
円C:x^2+y^2-6x+2y+k=0
直線l:y=3x
があり、Cの中心をAとする。また、Cの半径は2√5である。

(1)Aの座標を求めよ。また、kの値を求めよ。
(2)Aとlの距離dを求めよ。
(3)Cとlの2つの交点をP,Qとするとき、∠PAQの大きさを求めよ。また、三角形APQの外接円の内部(周を含む)と、Cの内部(周を含む)の共通部分の面積を求めよ。

この問題が分からなくて困っています！

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/09 21:44

(１) x²+y²-6x+2y+k=0

(x²-6x+9)+(y²+2y+1)-9-1+k=0
(x-3)²+(y+1)²=10-k
円の半径は２√５なので、10-ｋ＝(２√５)²　10-ｋ＝20　より、ｋ＝-10
A(3，-1)、k=-10

(２)点と直線の距離の公式を使います。
直線ｌ：ax+by+c=0　と点A(ｘ₀，ｙ₀)との距離ｄは
d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)

直線ｌ：-3x+y=0 点A(3,-1) a=-3,b=1,c=0,x₀=3,y₀=-1　をあてはめて、
d=|-3×3+1×(-1)+0|/√{(-3)²+1²}=|-10|/√10=10/√10＝√10

(３)点Aから直線ｌに下した垂線の足を点Bとすると、(２)より、AB＝√10。AP＝２√５より、
△APBは直角三角形で、AP:AB＝２√５：√10＝２：√２＝√２：１
△APBは∠BPA＝∠BAP＝45°の直角二等辺三角形。△AQBも同様で、∠BAQ＝45°
∠PAQ＝∠BAP+∠BAQ＝45°+45°＝90°

△APQの外接円は、弧PQに対する円周角∠PAQ＝90°より、PQを直径とする円で、中心が点B
したがって、半径はBAで、(２)より、BA＝√10
２つの円の共通部分は、点Aを中心とする円の扇形APQの部分と、点Bを中心とする円の扇形PAQの部分の重なった部分。扇形APQの面積は、中心角∠PAQ＝90°より、半径２√５の円の面積の1/4で、(２√５)²π×1/4＝５π。扇形PAQの面積は、PQが直径なので、∠PBQ＝180°より、半径√10の円の面積の1/2。(√10)²π×1/2＝５π。この2つの扇形の面積を足すと、直角三角形APQの部分の面積(1/2×２√５×２√５＝10)がだぶっているのでそれをひいて、2つの円の共通部分の面積は、５π+５π-10＝10π-10

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/08/09 21:04

C:x²+y²-6x+2y+k=0

(x-3)²+(y+1)²=10-k=(2√5)²
l:y=3x
3x-y=0


(1) A(3, -1)
10-k=20
k=-10
(2) d=|3×3+(-1)×(-1)|/√{3²+(-1)²}
=√10
(3) ∠PAQ=θ とすると
cos(θ/2)=√10/2√5=√2/2
θが凸角ならば
0<θ/2<π/2
θ/2=π/4
θ=π/2
∠PAQ=π/2
つまり△APQ は直角二等辺三角形であることが判る。よって、その外接円の直径はPQであり、その中点Rが中心となる。また、円Rの半径は
2√5/√2=√10
である。
共通部分の面積は、円R の半分と円C の90° 劣弧PQ をもつ弓形の合計である。
半円Rの面積は
π(√10)²/2=5π
弓形PQ の面積は
π(2√5)²/4-(2√5)²/2=5π-10
よって共通部分の面積は
10π-10


だと思います。計算合ってるかな?