
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
A=[a,b]
a≦x≦b
F(x)=∫_{a~x}f(t)dt
εがどんな正数でも
あるδが存在して
m(X)<δ
となる可測集合X⊂Aに対して
∫_{X}|f(x)|dx<ε
となる
a≦a_1<b_1≦a_2<b_2≦…≦a_n<b_n≦b
Σ_{p=1~n}(b_p-a_p)<δ
なるa_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_nに対して
[a_p,b_p]={x;a_p≦x≦b_p}
X=∪_{p=1~n}[a_p,b_p]⊂A
m(X)=Σ_{p=1~n}(b_p-a_p)<δ
だから
∫_{X}|f(x)|dx<ε
だから
Σ_{p=1~n}|F(b_p)-F(a_p)|
=Σ_{p=1~n}|∫_{a_p~b_p}f(x)dx|
≦Σ_{p=1~n}∫_{a_p~b_p}|f(x)|dx
=∫_{X}|f(x)|dx
<ε
∴
F(x)=∫_{a~x}f(t)dt
は
[a,b]で絶対連続である
No.4
- 回答日時:
リース、ナジー の 関数解析学 上巻(共立出版株式会社)の 57p
の記述のほうが納得しやすいかもしれません。
古い本なので、図書館で探してみるか
ネットで古本を見つけて下さい。
https://www.kosho.or.jp/products/detail.php?prod …
高いですね。
No.2
- 回答日時:
申し訳ありませんがぼくはルベーグ積分について、あまり詳しくはありません。
ただルベーグ積分にくわしい方があなたの質問に目に触れやすいように
したがってそういう方からの回答をあなたが得られやすいようにと
先の忠告を申し上げたまでです。
ただ、ぼくのもっている教科書には以下の記述があります。
それは関数fを2つの正の値の関数f₁、f₂の差で表わして
fの積分をf₁の積分とf₂の積分の差と考えるということです。
するとf₁、f₂のそれぞれの不定積分は単調増加関数なので
それぞれの不定積分の絶対連続性があなたのあげた定理によって
すぐに示され、したがってその結果として
絶対連続関数の差としてのもとの不定積分の絶対連続性も出てくる、
というものです。
他の方からのご回答をぼくも待ちたいものです。
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2枚目です
1枚目がぶれてしまったので、再度添付します
絶対連続の定義です
1枚目を2分割して投稿します。
見えづらくてすみません
1枚目後半です