写真の問題について、衝突後、小物体から離れて飛び出るために必要な高さHをもとめたいです。 離れるとす

写真の問題について、衝突後、小物体から離れて飛び出るために必要な高さHをもとめたいです。

離れるとすれば、抗力が0になるバネが自然長のときと考え、衝突直後とバネが自然長の時で力学的エネルギー保存則を立てようと思ったのですが、この場合自然長の時の運動エネルギーはその時の速度をvとし、3mv^2/2 で大丈夫でしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/17 17:06

No.1 です。

＞離れるとすれば、抗力が0になるバネが自然長のときと考え

もしこれが、#2 さんのおっしゃる「小物体が皿から受ける垂直抗力がゼロになる」という意味だったら「ばねが自然長となる位置」で合っていますが、どうしてそうなるのかをきちんと説明できますか？

でも、その場合には「衝突後、小物体『が板』から離れて飛び『上がる』ために必要な高さHを求めたい」と書かなくちゃ。

＞この場合自然長の時の運動エネルギーはその時の速度をvとし、3mv^2/2 で大丈夫でしょうか？

「その時の速度をvとし」ならそれでよいですが、その v をどうやって決めるのかがこの問題のポイントです。
v > 0 なら「垂直抗力がゼロになる位置まで上昇するから、小物体は皿から浮き上がる」ということですから。


この問題では、「小物体が板と衝突して一体で動き出したときの速さ」がポイントです。
それが分かれば、「力学的エネルギー保存」を使って「重力による位置エネルギー」「ばねの弾性エネルギー」「小物体と板の運動エネルギー」から、v > 0 になるかどうかが分かるはずですから。

それは、次のような手順で求めます。

(1) 「板を載せてつり合った高さ」を基準にして、そこから「高さ H」にある小物体の位置エネルギーは
　　E1 = mgH

(2) これが板の位置まで落下したときの速さ v2 に相当する運動エネルギー E2 は、最初の位置エネルギー差 E1 に等しいので
　　E2 = (1/2)m(v2)^2 = mgH
　従って
　　v2 = √(2gH)

(3) 「小物体は跳ね返らずに、板と一体になって動き始めた」ということなので、これは「反発係数 0 の非弾性衝突」です。「非弾性衝突」なので「エネルギー」は保存せず、外力は働かないので「運動量」が保存します。従って、衝突後の速度を v3 とすると
　　m*v2 + 0 = 3m*v3
よって
　　v3 = (1/3)v2 = √(2gH) /3

(4) そこから「板 + 小物体」は一体で落下してばねを縮め、最下点からばねの復元力で上昇します。

(5) 最下点から上昇に転じ、再び(3)の「板を載せてつり合った高さ」を通過するとき、エネルギーのロスを考えないので、そこでの速度は v3 と同じ大きさで「上向き」になっています。

では、この高さを上向きの速さ v3 で通過したものが、ばねの自然長の位置まで上昇できるか？
つまり、ここでの「運動エネルギー」と「ばねの弾性エネルギー」の合計が、ここから「ばねの弾性エネルギー」がゼロになる高さの位置エネルギーよりも大きいか？　を調べればよい。

ここでの運動エネルギー
　E5 = (1/2)(3m)(v3)^2 = (3/2)m (2gH/9) = (1/3)mgH
弾性エネルギー
　U5 = (1/2)kd^2

ここを基準にした、ばねの自然長の位置エネルギーは
　E6 = (3m)gd = 3mgd

従って
　E5 + U5 > E6
であれば、板と小物体は「ばねの自然長」まで到達して、小物体は浮き上がることになります。

これを求めれば
　(1/3)mgH + (1/2)kd^2 > 3mgd
→　(1/3)mgH > 3mgd - (1/2)kd^2
→　H > 9d - (3/2)kd^2 /mg

ばね定数 k は既知ではないので
　kd = 2mg
より
　k = 2mg/d
として消去すると

　H > 9d - (3/2)(2mg/d)d^2 /mg
　　= 9d - 3d
　　= 6d

この回答へのお礼

真剣に議論していただきありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2019/08/19 09:52

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/19 09:47

No.3 です。

#4さん＞#3さんの回答が理解できず考えてみました。「自然長」とmが離れる、射出されることの意味が、今一理解できない。

いやいや、大したことではありません。
質問者さんも直感的にそう考えた通りのことです。

#4 さんも

＞2.
＞運動方程式は
＞3my''=-ky-3mg 　　　　　①

と書かれていますね。この y は、ばねの自然長からの変位です。
（初期条件で y(0) = -d と書かれていますし、そもそもばねの復元力が -ky とかかれているので）

ここで、「浮き上がり」の判定条件となる y'' = -g となる点を求めれば、①式にこれを代入して

　-3mg = -ky - 3mg
→　ky = 0
k≠0 なので
　y = 0
となるということです。
y = 0 とは「ばねの自然長」ということです。

「小物体 + 板」に働く力が「重力 + ばねの復元力」のみであれば、働く力が「重力」のみになるのは「ばねが自然長になったとき」という、ごく当たり前の帰結です。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/18 16:29

#3さんの回答が理解できず考えてみました。

「自然長」とmが離れる、射出されることの意味が、
今一理解できない。

いずれにしてもバネは単振動をしており、最大上部に達したとき、下向きに最大（最小？）の加速
度をもちます。この加速度が　-g より小さければ、mの -gによる落下は、2mの台の下降について
いけず、浮き上がる。という方針で計算した。

1.
まず、2mとバネの釣合で、
kd=2mg → k=2mg/d・・・・・・①
とバネ定数がわかる。

mと2mの衝突で運動量保存が成り立つと仮定すれば、mの衝突前の速度は落下の位置エネルギーに
相当するので -√(2gH) だから、衝突後の(m+2m)の速度v₀は
-m√(2gH)=3mv' → v₀=-(√(2gH))/3・・・・・②

2.
運動方程式は
3my''=-ky-3mg → y=-3mg/k+Acos wt+Bsin wt
w=√(k/3m)・・・・・・③
y(0)=-d , y'(0)=v₀
だから
y=-3mg/k+(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt
したがって、
y''=-w²{(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt}

この最上部の加速度は cos/sin の係数の2乗和の平方根 -w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²} であり、これ
が、-gより小さければ浮き上がる。
-w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²}<-g・・・・・④

ここで、①②③を使って
(3mg/k-d)²=(3d/2-d)²=d²/4 , (v₀/w)²=(2gH/9)3m/k=(2gH/9)3d/(2g)=Hd/3
w²=k/3m=2g/(3d)

これを④に入れて
(2g/3d)√(d²/4+Hd/3)>g → d²/4+Hd/3>(9d²/4g²)g² → H/3>9d/4-d/4=2d
→ H>6d
を得る。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/08/17 15:24

抗力が0って、台と小物体の間の垂直抗力のことですね。

だったらそれでだいじょうぶです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/16 22:36

「以下の問いに答えなさい」の部分がありませんが、それが「衝突後、小物体から離れて飛び出るために必要な高さHをもとめたい」ですか？

「小物体から」何が離れる？　何がどこに「飛び出る」？

まずは、正しく問題を提示してください。