347の(１)の丸の部分の変形はどのように計算したのですか？

347の(１)の丸の部分の変形はどのように計算したのですか？

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/09/07 16:19

bn+1＝(1/3)bn＋4/3

両辺に－2を足して
bn+1－2＝(1/3)bn＋4/3－2＝(1/3)bn－2/3＝(1/3)(bn－2)
よって、bn－2は、初項(b1－2)が次に求める－92、公比が1/3の等比数列とわかった。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/07 22:38

b[n+1] = (1/3)b[n] + 4/3 を

b[n+1] - x = c(b[n] - x) に変形したいと思ったら、　←[1]
下の式を展開した b[n+1] = cb[n] - cx + x を
上の式と比較して、 c = 1/3, -cx + x = 4/3.　←[2]
この式を解いて ｘ を求めると、 x = 2 になっている。
だから、b[n+1] - 2 = (1/3)(b[n] - 2).

x を求めた方程式は、 x = cx + 4/3 とも書ける。
c を消去すれば x = (1/3)x + 4/3 だ。
この式は、どこかで見た式と似ている。
最初の式の b[n+1], b[n] を x に置き換えると、この式になる。
実際、あまりスジのよくない参考書には、
b[n+1], b[n] を x に置き換えて x を求めろと書いてある。
そういう馬鹿な暗記ものにつきあわなくても、
[1]の発想から[2]の式を得ることを知っていれば十分なのだが。