2変数関数の条件付き極値について分からない問題があります。 xy=-1のもとで、z=x-2yが極値を

2変数関数の条件付き極値について分からない問題があります。
xy=-1のもとで、z=x-2yが極値をとる候補点を求めよ。という問題です。
1-λy=0･･･①
-2-λx=0･･･②
xy=-1･･･③
と連立方程式を立て、
λx=-2･･･②´
λy=1･･･①´
②´-①´より、
λ(x-y)=-3
x=y
λ=-3
になってしまいます。正しい答えに辿り着くにはどうしたらいいのでしょうか。

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/11/14 04:43

xy=-1のもとで、z=x-2yが極値をとる候補点を求めよ。

１、
y=-1/xとすると、z=x-2y=x+2/xとなる。
dz/dx=1ー2/x²＝０　と置くとx=±√2で、z＝±2√2　が極値となる。
２、
ラグランジュの未定係数法を使うなら、条件式xy=-1をxy+1=0＿①と書いて
z=x-2y+λ(xy+1)＿②
式②をx,yで微分して0と置く。
∂z/∂x=1＋λy=0＿③
∂z/∂y=-2＋λx=0＿④
①③④を連立方程式として解く。
③からy=－1/λ＿⑤
④からx=2/λ＿⑥
⑤⑥を①に入れると、－2/λ²+1＝0＿⑦
⑦からλ＝√2＿⑧　またはλ=－√2＿⑨
⑧を⑤⑥に入れると
y=－1/√2，x=2/√2=√2＿⑩
z=x-2y=2√2＿⑪
⑨を⑤⑥に入れると
y=1/√2，x=－2/√2=－√2＿⑫
z=x-2y=－2√2＿⑬
計算が長くなるだけで、１、と同じ結果となった。
zは－∞<z≦－2√2の範囲と2√2≦z<∞の範囲の値をとる。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/11/07 23:12

「極値をとるための必要条件」を考えているなら「候補」であると思うよ＞#4. 「極値をとる候補点」は, まあ日本語として無理があるけど.

しかし, 「xy=-1 であるような全ての (x, y)」っていわれたらどうするつもりなんだろうな, この問題.

あ, 変な方法としては相加平均と相乗平均の関係を無理に使うこともできるね.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/07 01:01

極値をとる点じゃなく「極値をとる候補点」てのが、なんだかなあ。

「候補」ってなんじゃい？

①②の立式自体、本人による説明が何もないが、どう考えたのか。
教わった手順をなんとなく真似しようとしているだけで
何のためにどういう由来で立てた式かを理解していないから、
連立方程式を立てたあと何をしたらいいか思い出せないのではないか？

(x,y) が z の極値点である必要条件を①②③から引き出したいのなら、
λ よりも x,y の値を求めることを目指すべき。
λ(x-y) = -3 から λ = -3 とはならないが、
①´と②´を左辺どうし右辺どうし掛けあわせて、そこに③を使えば、
-λ^2 = -2 となって λ = ±√2 が出る。
この2つの λ を①②へ代入すれば、(x,y) が２組求まる。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/04 16:43

λがラグランシュの未定乗数なら

u=z-λ(xy+1)=x-2y-λ(xy+1)
∂u/∂x=1-λy=0 ①
∂u/∂y=-2-λx=0 ②

λを消去すると、①×x―②×y は
x+2y=0 → x^2+2xy=0 →x^2-2=0→x=±√(2)

>②´-①´より、
>λ(x-y)=-3
>x=y
>λ=-3
>になってしまいます。

なんですかこれ?
3行目4行目ってなんでこうなる？

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/04 01:42

まずい.

また, 調べるのを怠っていた.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

私の ANo.1 は, 回答内容をすべて撤回します.
どうか, 忘れてください.

No.1 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/04 01:36

λx = -2 と λy = 1 までは正しい.

これらから λ(x - y) = -3 という等式を導くのは, 役に立たないとは思うが, 変形は間違っていない.
しかし, そこから何故 x = y や λ = -3 という, 不思議な結論が導き出されたのか理解できない.

λx = -2 と λy = 1 は正しいのだから, λ を消去する工夫をするべき.