「ポテンシャルV(x、y)は 

{0<=x、y<=L}のとき0
それ以外の領域は∞

のときのエネルギー固有値と波動関数を求めよ」

という問題なんですがよくわかりません。
周期的境界条件ってこの場合ありますか?
流れだけでもいいですので教えてください。

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A 回答 (5件)

結論から言うと、X(L)=0 、Y(0)=0です。

(この境界条件を課さないと解けません)
sotobayasiさんがつまづかれたのは式解釈の単純な誤りによります。

ポテンシャルを与えている式ですが、題意の式は
 0≦x≦L かつ 0≦y≦L
 の領域で0、
 それ以外の領域で無限大
との意味に解釈すべきです。(でないと、2次元量子井戸にならないですよね)
もし出題者がポテンシャルをsotobayasiさんの解釈のように
 0≦xで0 また y≦Lで0
と与えたかったのならばLなんて値を持ち出さずに、ポテンシャルを
 0≦xで0 また y≦0で0
と与えたはずです。(∵単なる座標の平行移動なので、本質的に同じ問題)

そもそもポテンシャル0の部分が半無限に広がっているのであれば波動関数はどこまでも広がってしまい、規格化条件∫|φ|^2 dr=1を適用できません。
またエネルギー準位も好きなものを取れますから固有値はなんでもよくなってしまいます。

以下の図はポテンシャルの井戸を上から覗いた図です。(■が無限にポテンシャルの高いところ、□がポテンシャル0のところだと思って下さい)
【正しい解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□■■L
■■□□■■0
■■■■■■
■■■■■■
  0 L

【誤った解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□□□L
■■□□□□
■■□□□□→無限にポテンシャル0の部分が続く
■■□□□□
  0  ↓こちらも無限にポテンシャル0の部分が続く
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
おっしゃる通り勘違いでした。確かに井戸型ではないですよね。
何度もすいませんでした。

お礼日時:2001/08/05 02:17

No.2のbrogieです。



本質的なことではありまえんが、Umadaさんの回答の式でdと書くべきところを∂とウッカリ書かれてようですので、念のため書いておきます。
(2)式からは∂のところはdです。例えば、(4a)式は
-A^2(1/X)(d^2X/dx^2)=E1(4a)
になると思います。

失礼しました。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
変数分離でやればなんとか解けました。

お礼日時:2001/08/05 02:19

周期境界条件をとってクローニッヒ ‐ ペニー のモデル井戸型ポテンシャルを考えて、


井戸の深さ(壁の高さ)を∞にしても解は得られますが、
普通はそうはしないのではないでしょうか?

{0<=x、y<=L}以外の領域は∞ なので、
そこでの波動関数(?)を考えてみれば、
おのずと、x,y=0,Lのときの境界条件がわかると思います
(周期境界条件ではなく、
 剛体境界(??)条件(rigid bounray condition)で解けば良く、
 {0<=x、y<=L}の中だけ考えれば良いことがわかります。)

ちなみに、こういう四角の箱型や、円でない変な形の場合は
きれいな準位に分かれなくなって、量子カオスが起こってきます。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/08/05 02:15

この程度の問題は量子力学のテキストには必ず記載されています。

図書館などで調べて下さい。従って、皆さんからは、回答してもらえないのではないでしょうか?

ここでは、ヒントだけ書いておきます。
2次元の問題ですから、
(1)ψ(x,y,t)=φ(x,y)T(t)
とおく、
(2)φ(x,y)=X(x)Y(t)
とおく、
X,Y,Tの微分方程式が求まります。
この微分方程式を解いて、
境界条件
(3)X(0)=X(L)=0,Y(0)=Y(L)=0
規格化条件
(4)∫│X(x)│^2dx=1など
以上の条件で解いていきますと、固有関数と固有値が求まります。

では、頑張って解いて見て下さい。分からない時は図書館行きです。自分の手で解いてみることです。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
どうやら単純に式の解釈を間違っていたみたいです(恥)。
どうもお手数かけました。

お礼日時:2001/08/05 02:12

井戸型ポテンシャルはSchroedinger方程式を解く問題としては、比較的とっつきやすいものですね。



1. 波動関数をφ(x,y)と置き、Schroedinger方程式を書き下す。
-A^2 ∇^2 φ(x,y)=E φ(x,y) (1)
ここに、A^2は (Planck定数を2πで割ったもの)^2/2m なる定数、mは粒子の質量。またこのとき定数をAでなくA^2とおいたのは後の計算上の技巧のため。

2. 変数分離型の解を求める。
すなわちφ(x,y)=X(x) Y(y)とおき、上の式に代入する。
-A^2 (Y(∂^2 X/∂x^2) +X(∂^2 Y/∂y^2)) = E X(x) Y(y) (2)
両辺をXYで除して
-A^2 ((1/X)(∂^2 X/∂x^2) +(1/Y)(∂^2 Y/∂y^2)) = E (3)
第一項はxのみの関数、第二項はyのみの関数であり、(3)が恒等的に成り立つためには
-A^2 (1/X)(∂^2 X/∂x^2) =E1 (4a)
-A^2 (1/Y)(∂^2 Y/∂y^2) =E2 (4b)
が必要十分である。ここにE1, E2は定数であり、E1+E2=Eの関係を満たす。

この方程式は簡単な線形2階微分方程式に帰着しますからすぐに解けますね((4a)の両辺にXをかけるだけ)。普通の2次元膜の振動と本質的に同じ問題です。

3. 境界条件を検討する。
井戸の外ではではVは無限大です。計算してみると分かるのですがここでは波動関数は恒等的に0になります。波動関数が境界x,y=0およびx,y=Lで滑らかにつながるという要請を考えると、
X(0)=X(L)=0 (5a)
Y(0)=Y(L)=0 (5b)
が境界条件として課されます。

4. 固有値を求める
これは(4a)(4b)式に、得られた波動関数X(x), Y(y)を代入することで求まります。
E1, E2をそれぞれ求めて、最後に足せばよいわけです。

周期的境界条件はこの場合関係ありません。(なぜなら、井戸は一個しかないわけですから)
もし井戸が多数個並んでいて、かつ井戸の障壁が有限の高さであれば周期的境界条件が関係してきます。この場合は粒子が取りうるエネルギーに幅が生じるます。(固体のバンド構造の話へとつながっていきます)

*解き方の大筋は上でよいはずですが、細かいところでタイプミス、計算ミスをしているかも知れません。検算しながら読んで頂ければ幸いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
変数分離のとこまではいけたんです。
>X(0)=X(L)=0
>Y(0)=Y(L)=0
とありますが X(L)=0 、Y(0)=0ですか?
x>=0
y<=L
でポテンシャルは0という条件からX(L)=0 、Y(0)=0と
いう境界がひけるんですか?
何度もすいませんできればお答え願います。

お礼日時:2001/08/04 13:16

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(1)「井戸の壁の高さが無限大」から言えることは、「壁面において波動関数の値はゼロでなくてはならない」です。これが計算の過程において境界条件として課されます。
ご質問の場合の量子井戸内の波動関数は以下のようになります。左側の壁をx=0の原点に取り、また井戸の壁を太線(┃)で示しています。図示の制約から正確には描けませんが雰囲気は分かっていただけると思います。古典的な振動のイメージで言うならば「壁面の位置と振動の節が一致している」ということです。

[基底状態]
・      ・
:↑波動関数 :
┃      ┃
┃  __  ┃
┃ /  \ ┃ 
┃/    \┃←壁の位置では波動関数ψ=0
┃      ┃
x=0     x=d


[第一励起状態]
・      ・
:      :
┃      ┃
┃ _    ┃
┃/ \   ┃←壁の位置では波動関数ψ=0
┃   \ /┃
┃     ̄ ┃
     

[第二励起状態]
・      ・
:      :
┃      ┃
┃      ┃
┃/\  /\┃←これまた、壁の位置では波動関数ψ=0
┃  \/  ┃
┃      ┃


井戸内部における、定常状態のSchroedinger方程式は
(h~^2/2m_e)(d^2/dx^2)ψ+Eψ=0  (1)
です。ψは波動関数、h~はhバー(Planck定数÷2π)です。また「m×e」との混乱を避けるため有効質量はmeでなくm_eと表記しました。
この方程式は2階線形の斉次微分方程式ですから
ψ=A1 sin(kx) + A2 cos(kx)  (2)
の形の解となることは自明です。ここにkは{√(2m_e E)}/h~です。またx=0でψ=0との境界条件がありますからA2=0もすぐに分かります。
さてもう一つの境界条件、x=dでψ=0を検討します。これは(2)にx=dを代入することで
d×{√(2m_e E)}/h~=π, 2π, 3π,...,nπ  (3)
とすぐに書き換えられます。
(3)をエネルギーEの式に変形すると
E=n^2 {(h~π^2}/2m_e d^2  n=1,2,3,...  (4)
ということになります。エネルギーEはnに応じてとびとびの値しか許されないことが分かります。
題意から、n=1が基底状態、n=2が第一励起状態、n=3が第二励起状態に相当します。数字を代入して計算するのはセルフサービスでいいですよね。m_eをkg単位、h~をJ・s単位で代入したならば最終結果はJ単位で出てきますから、電荷素量で除して電子ボルトの単位に直すのをお忘れなく。

(2)これも上記と同様に考えることができます。
3次元の大きな直方体の箱を考えて下さい。各辺の長さをL_x, L_y, L_zとします。この箱の中に電子が存在するとしましょう。箱の内部ではポテンシャルは一様でゼロとし、箱の外ではポテンシャルは∞とします。従って箱の内壁面において電子の波動関数ψが0という境界条件が課されます。
(1)では電子の運動は1次元(1自由度)で考えましたが、今度は3次元で考えなくてはなりません。3次元空間のSchroedinger方程式(定常状態)は箱の内部においては
(h~^2/2m_e)(∇^2)ψ+Eψ=0  (5)
となります。∇^2はラプラシアンです。この方程式はψを変数分離(ψ=X(x)×Y(y)×Z(z))して解くのが常道です。解き方は量子力学の初歩の教科書には大抵載っていますから、詳細はそちらで読んで下さい。
計算結果だけ示しますと、やはりこの場合もエネルギーEの値はとびとびのものに限られ、その値は
E=(h~^2/2m_e)×{(πn_x/L_x)^2 +(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2}  (6)
となります。n_x, n_y, n_zは整数で1,2,3,..の値を取ります。これは(4)と同じことで各壁面でψ=0という境界条件が課されるところから生じていますが、今度はx, y, zの3方向ありますからある一つの状態を表現するには整数の3つ組が必要、ということです。

ではいよいよ状態密度Z(E)、すなわち単位体積・単位エネルギー領域で収容できる電子数について考えてみます。
まず波数という物理量を導入します。一般にある波動があった場合、その波長λに対し2π/λという物理量を考え「波数」と呼びます。長さ方向にどれくらい波が詰まっているかを表す量です。
今考えている箱の中の波動関数で、例えばL_x/n_xは半波長に相当する量ですから、この場合の波数(x方向の波数)はπn_x/L_xということになります。同様にy方向についてπn_y/L_y、z方向についてπn_z/L_zがそれぞれ波数です。
波数はx, y, zの各方向についてk_x, k_y, k_zなどと表され、また(k_x, k_y, k_z)のように3つ組にしたものは「波数ベクトル」と呼ばれます。
波数を用いると(6)は
E=(h~^2/2m_e)×{k_x^2 +k_y^2 +k_z^2}  (7)
と変形できます。この式は波数とエネルギーの関係を表すものです。また波数を変数と考えると(7)は波数空間(3次元)での球面の式を表していることになります。(ただし定常状態となり得る波数がπ/L_xなどの整数倍、すなわち格子点に限られることは変わりありません)

これを知った上でエネルギーEとE+dEの間にある状態数Z(E)dEを考えてみましょう。
さてまず(7)で示したように等エネルギー面は波数空間で球面をなします。半径{√(2m_e E)}/h~の球と、半径[√{2m_e (E+dE)]/h~の球の間の体積差を考えると
[{√(2m_e)}/h~]^3 (4π/3){(E+dE)^(3/2)-E^(3/2)}  (8)
ですが、dEはEに比べて十分に小さいので
[{√(2m_e)}/h~]^3 (4π/3){(3/2)√E dE}
=2π[{√(2m_e)}/h~]^3 √E dE  (9)
となります。
一方、許される波数は波数空間で格子点として存在しています。その密度は波数空間の体積π/L_x×π/L_y×π/L_zあたりに1つですが、1つの準位に電子は2つまで入れますから電子の状態数にするには2を掛けます。
これを(9)にかけると、
2×(L_x×L_y×L_z)÷π^3×2π[{√(2m_e)}/h~]^3 √E dE
=(L_x×L_y×L_z)×4√(2m_e) √E÷(π^2×h~^3) dE  (10)
を得ます。n_x, n_y, n_zは正の値に限られますので、(10)の1/8が実際の状態の数ということになります。また状態密度は単位体積で定義していますから、(10)をさらに実空間の体積L_x×L_y×L_zで除して
(1/8)×{4√(2m_e)^3 /π^2×h~^3} E^(1/2) dE  (11)
を得ます。従って状態密度Z(E)は
Z(E)={√(2m_e)^3 /2 π^2×h~^3} E^(1/2)  (12a)
あるいは
Z(E)=4π{√(2m_e)/h}^3 E^(1/2)  (12b)
ということになり、いずれにしてもZ(E)はエネルギーEの平方根に比例することが分かります。ここにhはPlanck定数です。グラフにするとおよそ以下のようになります。

↑Z(E)
│      *
│   *
│ *
│*
└───────→E

以上は3次元でのお話です。では2次元ではどうなるでしょうか。2次元、すなわち薄膜中での電子伝導は(7)式までは同じですがその先が少し異なります。
薄膜はx方向について極めて薄く、y方向およびz方向には十分に大きく広がっているとしましょう(L_x≪L_y, L_z)。すると波数空間において、許されるk_xの値は極めて限られたものになり、その相互の間隔は許されるk_yやk_zの間隔に比べて非常に大きくなります。格子点はy方向とz方向には稠密ですが、x方向には相当に離散的ということです。
この場合エネルギーEとE+dEの間の状態数の差は、球の体積の差でなく円の面積の差で求めることになります。
まずx方向の基底状態はn_x=1について、
E=(h~^2/2m_e)×{(π/L_x)^2 +(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2}
{(2m_e E/h~^2)-(π/L_x)^2}=(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2  (13)
となります。(13)は球の方程式でなく、円の方程式と看做すべき式です。
波数空間の平面k_x=π/L_xにおいて、半径√[(2m_e E/h~^2)-(π/L_x)^2]の円と半径√[{2m_e (E+dE)/h~^2}-(π/L_x)^2]の円の面積差は明らかに
π{2m_e/h~^2} dE  (14)
です。
またこの平面内において許されるL_y, L_zの面積密度は、π/L_y×π/L_zあたりに2つです。2つになる理由は上記と同じ(スピンの差異で2つの電子が入りうるから)です。
さらにn_y, n_zは正の値に限られることを考えると、許される状態の数は
2×(1/4)×π{2m_e/h~^2}×L_y×L_z÷π^2 dE  (15)
ということになります。実空間の単位体積当たりに直せば
2×(1/4)×{2m_e/h~^2}/(L_x π) dE
=4π m_e/(L_x h^2)  (16)
ということになります。すなわちEの値によらず状態密度は一定という結果になります。
ただし、ある程度Eの値が大きくなってくると今度はn_x=2の場合が入ってきますから、それも含めて状態数を計算する必要が生じてきます。しかしn_x=2であっても(16)の結果は同じであり、n_x=1についての状態密度とn_x=2についての状態密度を単に足し合わせれば全体の状態密度になるということです。
これは言葉で表現するより図を見てもらった方が早いでしょう。以下のような階段状のグラフになります。なお階段の段の高さはどこでも同じです。

↑Z(E)
│          
│      *******
│   *****
│ ***
│ **
└───────────→E

以上はかなり駆け足で説明したのと計算間違いをしている可能性があるのとから、miake-kiyoshiさんご自身で検算しながら、また教科書などで復習しながら読んでいただければ幸いです。

参考URLのページには精細な波動関数の図や状態密度のグラフがありますからぜひ一読ください。

参考URL:http://www.qed.eedept.kobe-u.ac.jp/japanese/semicon/semicon_basics.htm

(1)「井戸の壁の高さが無限大」から言えることは、「壁面において波動関数の値はゼロでなくてはならない」です。これが計算の過程において境界条件として課されます。
ご質問の場合の量子井戸内の波動関数は以下のようになります。左側の壁をx=0の原点に取り、また井戸の壁を太線(┃)で示しています。図示の制約から正確には描けませんが雰囲気は分かっていただけると思います。古典的な振動のイメージで言うならば「壁面の位置と振動の節が一致している」ということです。

[基底状態]
・      ・
:↑...続きを読む

Q波動のy-x図とy-tグラフの作図

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また、もしy-x図からy-t図へと作図をしなさいという問題が出た場合、どう書けばいいのかも教えてくだされば嬉しいです。

ぜひ分かる方教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

まずは正弦波ですので、(現在の教育課程では習いませんが)
y=A sin(2πx/λ)
y=A sin(2πt/T)
の形で書かれています。
なので、A,λ,Tなどの値を読み取る作業をします。
それに伴い、fやvも計算していきます。

y-xグラフは 要は写真です。波の一瞬の様子を切り取っています。
y-tグラフは 波の見る位置を一点に固定しています。

y-xではtがいつの時か、y-tグラフではxがどこのものか
明記されているはずです。


y-xからy-tに変換するときは、
xがどこのy-tグラフを書くのかおさえて、vはあらかじめ与えられていると思いますので、
λ=vTでTを求めます。
振幅はy-xとy-tでは変わりません。
y-xグラフを少し時間を進めたグラフをイメージします。(連続写真のイメージ)
で、波がsinなのか-sinなのかを判断します。

これで書けるかな?

図が書けないのがつらいですが、
こんなところでしょうか。

Q井戸型ポテンシャル(JJサクライ)

JJサクライ下巻のp397(5.1.15)
摂動論ではないのですが、
さらりと触れられている箇所が納得できずにモヤモヤしています。

非常に弱い一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。

V=-V0 (|x| < a)
V=0 (|x| > a)

λ>0 の引力に対して
E = - (2ma^2)/h^2 |λV0|^2
というようなエネルギーの束縛状態がある。
(ここでhはh/2πの意味です)

このエネルギーの式はどのように導いたのでしょうか。
単純な井戸型ポテンシャルでもなさそうですし、
トンネル効果と比較してもよく分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

λが唐突に出てくるのですが、
|x|<aでV=-λV_0、あるいは同じ事ですが、ハミルトニアンをH=p^2/2m + λVとしているという事でいいですね?

エネルギーE(<0)の束縛状態の波動関数(のうち偶関数のもの)は、
x>aで、ψ=Aexp(-ρx)
|x|<aで、ψ=Bcos(kx)
x<-aで、ψ=Aexp(ρx)
のようになっています。ここで、E=-h^2ρ^2/2m=h^2k^2/2m -λV0です。・・・(◎)
※(λV0が大きければ)奇関数の束縛状態も存在しますが、基底状態のパリティが正なので、簡単のため奇関数の束縛状態は考えない事にします。

x=±aで、ψとその微分が連続という条件から、ρ=k tan(ka)が出てきます。・・・(☆)
※実際には、◎と☆の交点が固有状態を与えます。(もちろん、奇関数解で☆に相当する式も考える必要はあります)

λV0に関する最低次の項のみを考えると、
☆よりρ=k^2a.これと◎から、h^2k^2/2m=λV0となります。
故に、E=-h^2ρ^2/2m=-(2ma^2)/h^2 |λV0|^2となります。

λが唐突に出てくるのですが、
|x|<aでV=-λV_0、あるいは同じ事ですが、ハミルトニアンをH=p^2/2m + λVとしているという事でいいですね?

エネルギーE(<0)の束縛状態の波動関数(のうち偶関数のもの)は、
x>aで、ψ=Aexp(-ρx)
|x|<aで、ψ=Bcos(kx)
x<-aで、ψ=Aexp(ρx)
のようになっています。ここで、E=-h^2ρ^2/2m=h^2k^2/2m -λV0です。・・・(◎)
※(λV0が大きければ)奇関数の束縛状態も存在しますが、基底状態のパリティが正なので、簡単のため奇関数の束縛状態は考えない事にします。

x=±a...続きを読む

QV=V0+at → X=V0t+1/2at^2 ?

タイトルの前者の単位は〔m/s〕ですよね
で、後者の単位は〔m〕ですよね

僕は、〔m/s〕を〔m〕に直したいなら〔s〕をかければいいと思ったので
t(V0+at)をしました
けれどそれだと、後者の式の"1/2"が抜けてしまいます
一体この"1/2"がどこから出てきたのかが疑問です

学校の先生に質問しても、積分がどうとやらといっていてよくわかりませんでした

v-tグラフの面積を利用して出すときは、加速度が斜めで出てくるから
三角形の公式を利用したときに"1/2"を使うということは分かりました
けれど、こうして式で考えようとすると、なぜ1/2が出てくるのかよくわかりません
単純にtをかけるだけではダメなのでしょうか

どなたか分かる方いたら解説お願いします

Aベストアンサー

時刻"0"から"t"までのt秒間に進んだ距離を考える場合、その中間時刻"t/2"の時の速度で"t"秒間進んだ、と考えましょう。
時刻"0"の時の速度でt秒とか、時刻"t"の時の速度でt秒よりも正しそうな気がしませんか?

時刻"t/2"の時の速度はV0+a(t/2)=V0+(1/2)atです。この速度でt秒なら
{V0+(1/2)at}t=V0t+(1/2)at^2
となります。

これは等加速度運動の場合だから成り立つのであり、常に成り立つわけではありません。
ただ、t秒間での移動距離=t秒間での平均速度 × t は必ず成り立ちます。


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