数IIの三角関数の質問です。 微分の問題で、増減表を書く場合の矢印の向きの求め方を教えてほしいです。

数IIの三角関数の質問です。
微分の問題で、増減表を書く場合の矢印の向きの求め方を教えてほしいです。
数字だけの時は間の数字をf'(x)に入れていますが、
文字が入ってきた場合、f'(x)=0のxの右側や左側にある数字で入れると右と左でプラスマイナスが変わってしまい矢印の向きがどっちかわかりません。
どのようにしたらわかるか教えていただきたいです。
説明下手ですみません。

例 f(x)=x^3-3a^2x (0≦x≦1)
0<a<1の時の最大最小を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/02 23:27

増減表を作るときには、２階微分まで求めて、

・２階微分が正なら「１階微分（接線の傾き）」が「正方向に変化する」つまり「減→増」に切り替わる。ということは、ここが極小。
・２階微分が負なら「１階微分（接線の傾き）」が「負方向に変化する」つまり「増→減」に切り替わる。ということは、ここが極大。
と考えればよいのです。

それは多項式関数でも、三角関数でも同じ。

＞例 f(x)=x^3-3a^2x (0≦x≦1)

f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x - a)(x + a)
なので、極大、極小となるのは
　x=-a, a

どちらが極大、極小化を調べるには
f''(x) = 6x
なので
　f''(-a) = -6a < 0 なので x=-a で極大
　f''(a) = 6a > 0 なので x=a で極小

以上より
　x<-a で「増加」
　-a<x<a で「減少」
　a<x で「増加」

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/03 18:05

まず知っておくと便利な知識は

3次関数「y=ax³＋bx²+cx+d　」のグラフの概形は
a>0なら「N字型」（極大→極小の順）のグラフになり
a<0なら「∽型」　（極小→極大の順）のグラフになるという事です
ただし、y=x³などはa>0ですが　極値を持ちませんN字型の特殊な例です
∽字型についても　同様に極値を持たないケースがあります

ご質問の、 f(x)=x^3-3a^2x (0≦x≦1)・・・N字型
なら
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)ですから
f'(X)=0となるのは　x=-aとx=aですよね
先ほどの知識を持っていると
x=-aで極大
x=+aで極小は簡単に分かるのです。

従ってグラフ左側は極大に向かうので、x<-aの部分では　f'の部分は「/」です
極大から極小へ向かう部分（-a<x<a)では　f'の欄は「＼」です
そして極小より右側部分(a<x)では再び増加に転ずるので「／」となりますよ。

3次関数ではこの知識で通用しますが、通用しない関数も有りますので、研究をして理解を深めてください

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/02 20:54

例で説明します。

f(x)=x^3-3a^2x (0≦x≦1)
f´(x)=3x^2-3a^2
=3(x+a)(x-a)

ここで、f´(x) の符号を知りたいわけですから、
① f´(x)=3(x+a)(x-a)<0 となるのは、-a<x<a のとき、
② f´(x)=3(x+a)(x-a)>0 となるのは、x<-a , a<x のとき
となります。
2次不等式の解を考えると、f´(x) の符号(プラスマイナス)の場所が分かります。