解析力学で最小作用の原理から正準方程式を導く際、pi=∂L(qi,dotqi)/∂dotqi-①を逆

解析力学で最小作用の原理から正準方程式を導く際、pi=∂L(qi,dotqi)/∂dotqi-①を逆に解いてdotqi=dotqi(qi,pi)としてラグランジアンの作用の変分をとると思いますが、δpiとδqiが独立であるのは何故ですか？①の関係式があったとしたら、δdotqiがδqiに依存して決まるので、それに付随してδpiも決まってしまいδpiとδqiは独立にならないと思います。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/05 16:32

ルジャンドル変換で従属変数pと独立変数dotqを入れ替えてるから。

ルジャンドル変換をググって熟読して下さい。
とってもわかりにくいので、何度も何度も読まないと
解らんです。

皆が通る道です。

この回答へのお礼

ルジャンドル変換で(q,dotq)から(p,q)の空間へ移動できたとして、恐らくそれが①式の逆変換(dotq=∂H(p,q)/∂pi-②)に相当していると思うので、①式が成り立つ以上②式は成立すると思います(その逆も)。しかし、変分をとると②式からδdotq=dotδqなので、δpはδqに従属してしまうことになりませんか？

お礼日時：2019/12/05 21:44

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/05 20:31

ルジャンドル変換に関しては

ここなんか良いかも。
https://eman-physics.net/analytic/legendre.html


前野さんの「よくわかる解析力学」もおすすめかな。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/05 23:54

>δpはδqに従属してしまうことになりませんか

？？？
変分法が成立の結果としてpとqの関係が導かれる。
その結果を解く前の変分の制約に使ったら変だよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ここではL(qi,dotqi)=Σpi×dotqi−H(qi,pi)
-②

と、記述されたラグランジアンに対して変分原理を適応して正準方程式を導出する試みなのですが、左辺ではLがqiとdotqiに従属しているので
右辺はqiとdotqiを独立変数にもつ関数となるべきで、そう考えると右辺のpiはpi=pi(qi,dotqi)-③となるべきなので②のように記述する以上は③をdotqi=dotqi(pi,qi)と解き、変分をとると、δdotqiはδqiに付随するものなのでδpiはδqiに付随してしまう結論となってしまいませんか？

お礼日時：2019/12/06 01:33

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2019/12/06 18:52

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ラグランジュの未定乗数法

の2次元の場合の式を念頭に書きますが、
g(x,y)=0という拘束条件があってx,yは独立ではないので、∂F/∂xのような偏微分は定義できない
というのと同じような事をいっているように見えますが、どうして拘束条件があるはずなのに∂F/∂xのような偏微分が定義できるのか説明できますか？細かい所に違いはあるけれどこれと似たような話ですよね。