この、(5)、(6)のような問題が、分からなかったのですが、このような正多面体の頂点の個数などは、覚

この、(5)、(6)のような問題が、分からなかったのですが、このような正多面体の頂点の個数などは、覚えるようなのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： るかるか777 回答日時： 2019/12/07 14:44

少し考えたらわかるはずです。

正六角形を思い浮かべてください。その各辺に、正六角形をくっつけた図を想像してください。それを立体的にくっつけた図を想像してください。そうすると、ギザギザした谷間も6個できますよね？
つまりその間にフィットさせる六角形も6個は必要ですよね？
それ考えただけで、1＋6＋6で13です。単純に1＋6の形のものを2つ合わせたとしても14です。

逆に4角形ならサイコロなので6ですよね。つまり5角しかありません。

5角形はいまの6角形と同じ理屈で考えてみると、1＋5 となり これを2つ組み合わせたもの つまり6×2で12となりそうです。

こんな感じで、推測する力も働かせれば出来ますよ！！あきらめないでください！

5角形とわかったら頂点の個数は簡単ですよね。12個の5角形のパーツがあるので、12×5です。それぞれの各は3つのパーツが組み合わさってるので÷3します。そうすると12×5÷3で20です。


正n面に一般化するとどうか覚えておきたいなら、お調べになって覚えておいてください♪♪
しかし覚えてないとできないというのはあまり問題としては出ないとは思います。
思考力を試すのが出題者の意図です♪

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/12/07 14:53

正12面体は覚えた方が早いと思いますね。

正五角形で辺の数30、頂点の数20、という感じで。

(5)の正三角形の方も覚えたほうが早いと思うのですが、頭の中で立体の図形を描けるなら、それでも良いと思います。
正4面体、正8面体、あたりは、化学や物理の方へ進学すると、分子等の結晶構造で応用が出てくるので、付き合いが長くなることがありますし、
正多面体でない結晶構造も正多面体の応用になることが多いので、学生時代から頭に何度も思い浮かべるようにしてましたね。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/07 14:55

基本は図をイメージ又は実際に書いて観察すれば良いですから、覚えなくても構わないはずです

ただし、立体がどういう形になるか分かりにくいものもありますから、そういう物については覚えておくのが良いでしょう
また、立体図形をイメージすることが苦手と言う人は、すべてを覚えておくのも良いでしょう
とはいえ、正四面体くらいは誰にでも描けると思いますから、簡単な物に付いては普通は覚えなくても良いと思います。
　
結論として、分からない立体についてだけ覚える
（ただし、暗記が苦でない人はすべてを覚えておくのも良い。そうすればこのタイプの問題にはスラスラと答えられる）
ということです。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/07 15:01

多面体定理から計算できますよ。

頂点の数を V, 辺の数を E, 面の数を F とおくと、V - E + F = 2。
各面が n 角形で、ひとつの頂点に k 個の面が集まるとすると、
kV = 2E = nF。←[1]
F = 12 であれば、以上を連立して V,E,F を消去すると、
3nk - 6n - 5k = 0。 変形して、(3n - 5)(k - 2) = 10。

両辺の素因数分解を考えれば
(3n-5,k-2) = ±(1,10), ±(10,1), ±(2,5), ±(5,2)
のどれかだが、
3n-5 を 3 で割った余りが 1 であること、
n≧3, k≧3 より 3n-5≧4, k-2≧1 であることを考えると、
(3n-5,k-2) = (10,1) しか候補はない。
すなわち (n,k) = (5,3)。

[1] を導くには...
多面体を面に分解して、各面の各頂点に 1g のオモリをつけて
また多面体に組み立てると考えると、オモリの総計は、
各頂点に k[g]、各面に n[g]のオモリがあるから ｋV = nF [g]。

多面体を面に分解して、各面の各辺に 1g のオモリをつけて
また多面体に組み立てると考えると、オモリの総計は、
各辺に 2[g]、各面に n[g]のオモリがあるから 2E = nF [g]。