積分の不等式の証明

n を自然数とするとき、不等式
(n+1)∫(0→π/2) (sin x)^(n+1) dx ≧n∫(0→π/2) (sin x)^n dx
が成り立つことを証明したい。
どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 証明に誤りがあると思います。3行目の不等号は成り立たないのではないでしょうか？
  (n+1)sin x-n が全区間で非負ならば成り立ちますが、
  負から正に変化することをうっかりされたと思います。
  実際、n=2 の場合を計算すると 2-π/2 で正になります。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/12/10 12:10

• 失礼しました。n≧3 でも正になります。

    補足日時：2019/12/10 12:17

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/11 00:05

ん～と....

n ∫ sin^(n-1) x dx = (n+1) ∫ sin^(n+1) x dx
(全て 0 から π/2 までの定積分)
ってなりたつ?

この回答へのお礼

部分積分を一度行うだけでよかったのですね。やってもみずに質問してしまいました。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/12/11 08:37

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/10 19:23

失礼しました。

誤りでした。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/10 10:11

(sin x)^n ≦ 1　のあやまりでした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/10 09:07

I=∫(0→π/2) { (n+1)(sin x)^(n+1) - n(sin x)^n }dx

=∫(0→π/2) { (n+1)sin x - n }(sin x)^ndx
≦∫(0→π/2) { (n+1)sin x - n }dx　（1≦(sin x)^n　なので）
=[ -(n+1)cos x -nx ][x=π/2,0]=-nπ/2+ n+1<0 (n≧3のとき)

ゆえに、命題は成立しない。