数学2bセンターの問題で 上の式から下の式になるらしいのですが、理屈がよく分かりません。 要は上の式

数学2bセンターの問題で
上の式から下の式になるらしいのですが、理屈がよく分かりません。
要は上の式にb(n＋1)を加えただけですよね？なんでそれでこうなるのですか？

質問者からの補足コメント

• 今自分の中では
  まぁこんなもんなんかな
  って感じでカチッとハマってないですが、最初公式暗記した状態はこんなもんですよね。
  
  
  でも理屈は分かりました！
  ここからは自分で考えていこうと思います
  ありがとうございました！

    補足日時：2019/12/11 23:09

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/11 15:45

数列は、添字を変数とする関数です。

(定義域が自然数の。)
関数について、例えば tanθ = sinθ/cosθ から
tanφ = sinφ/cosφ や
tan(θ+α) = sin(θ+α)/cos(θ+α) が言えるように、
式内で統一して変数を入れ替えてもいいのです。
上の式の k を k+1 に入れ替えれば、下の式になります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/11 15:09

解釈①

Σ[K=1～n]bk=(5/4)bn+Sn
文字種はｎでなくても構わないから
Σ[K=1～m]bk=(5/4)bm+Sm
もし、m=n+1と言う関係にあるならｍをn+1に置き換えて
Σ[K=1～n+1]bk=(5/4)b[n+1]+S[n+1]
このｍ⇔ｎの置き換えを省略したのが画像


②
Σ[K=1～n]bk=(5/4)bn+Snということは
b1+b2+b3+・・・+bn=(5/4)bn+Sn…①
①より
Sn=b1+b2+b3+・・・+b[n-1]-(1/4)bn
これはsnは「b1からbn-1までの和」に末項bnの1/4倍を引いたものに等しいという意味
（Sは基本的にｂの和だがｂの末項だけ1/4倍して引き算にするのがSnだということです）
ならばSn+1は「b1からbnまでの和」に末項bn+1の1/4倍を引いたものに等しくなるというのは納得されると思う
これを式にすれば
Sn+1=b1+b2＋・・・+bn-(1/4)b[n+1]
両辺(5/4)b[n+1]を足して整理すれば
b1+b2+・・・+b[n+1]=Σ[K=1～n+1]bk=(5/4)bn＋Sn+1

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2019/12/11 15:00

n までの和が 上の式ならば、

n を m に変えたら どうなりますか。
(5/4)b(m)+s(m) ですよね。
（書き方が 悪くてすみません。下付きの文字が書けませんので。）
m=n+1 としたら、下の式になりますよね。
つまり、n を n+1 に 置き換えただけです。
足し算した訳ではありません。